\( (4,3) \) কেন্দ্র বিশিষ্ট এবং \( 5x-12y+3=0 \) সরল রেখাকে স্পর্শ করে এমন বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রদত্ত তথ্য অনুসারে, আমাদের একটি বৃত্তের সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে যা: 1. কেন্দ্র \((4,3)\)। 2. সরল রেখাকে স্পর্শ করে (ট্যাঞ্জেন্ট) \( 5x - 12y + 3 = 0 \)। --- ### ধাপ ১: বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ ধরা যাক, বৃত্তের সমীকরণ হল: \[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \] এখানে, কেন্দ্র \((h,k)\) এর জন্য, \[ h = -g, \quad k = -f \] অর্থাৎ, \[ g = -h, \quad f = -k \] আমাদের ক্ষেত্রে, কেন্দ্র \((4,3)\), তাই: \[ g = -4, \quad f = -3 \] অত: \[ x^2 + y^2 - 8x - 6y + c = 0 \] --- ### ধাপ ২: বৃত্তের কেন্দ্র ও রেখার দূরত্বের সমীকরণ রেখা \( 5x - 12y + 3 = 0 \) এর উপর স্পর্শ করে এমন বৃত্তের জন্য, কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব সমান বৃত্তের অর্ধ-প্রস্থের (অর্থাৎ, এর ব্যাসের জন্য)। দূরত্বের সূত্র: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] এখানে, \( (x_0, y_0) = (4,3) \), এবং রেখার সমীকরণটি \( 5x - 12y + 3 = 0 \)। অর্থাৎ, \[ d = \frac{|5 \times 4 - 12 \times 3 + 3|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 36 + 3|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-13|}{\sqrt{169}} = \frac{13}{13} = 1 \] ### ধাপ ৩: বৃত্তের অর্ধ-প্রস্থ (অর্থাৎ, ব্যাসের অর্ধেক) বৃত্তের অর্ধ-প্রস্থ \(r\) সমান হবে এই দূরত্বের: \[ r = 1 \] অত: \[ r^2 = 1^2 = 1 \] ### ধাপ ৪: বৃত্তের সমীকরণে \(c\) এর মান নির্ণয় বৃত্তের সমীকরণে, কেন্দ্র \((4,3)\) এবং \(r = 1\): \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1 \] বহির্মুখ সমীকরণে রূপান্তর করলে: \[ x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 1 \] \[ x^2 + y^2 - 8x - 6y + (16 + 9 - 1) = 0 \] \[ x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0 \] --- ### চূড়ান্ত উত্তর: অতএব, বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ \boxed{ x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0 } \]