x2+y2±8x-12y+36=0 একজোড়া বৃত্ত নির্দেশ করে
উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়ের কতটি সাধারণ স্পর্শক বিদ্যমান?
সঠিক উত্তরঃ
C.
3
Another Explanation (5):
প্রশ্ন:
প্রশ্নটি হলো: \(x^2 + y^2 \pm 8x - 12y + 36 = 0\) এই সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত একজোড়া বৃত্তের কতটি সাধারণ স্পর্শক বিদ্যমান?
উত্তর:
উত্তর: 3
সমাধান:
প্রথমে, দুইটি বৃত্তের সমীকরণ আলাদা করি।
প্রথম বৃত্তের জন্য:
\(x^2 + y^2 + 8x - 12y + 36 = 0\)
দ্বিতীয় বৃত্তের জন্য:
\(x^2 + y^2 - 8x + 12y + 36 = 0\)
ধাপ 1: বৃত্তের কেন্দ্র ও অর্ধবৃত্তের ব্যাস নির্ণয়
প্রথম বৃত্তের সাধারিত রূপে পরিণত করি:
\(x^2 + 8x + y^2 - 12y + 36 = 0\)অর্থাৎ:
\(x^2 + 8x + y^2 - 12y = -36\)অর্থাৎ, সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি: \[ x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16 \] \[ y^2 - 12y = (y - 6)^2 - 36 \] অতএব,
(x + 4)^2 - 16 + (y - 6)^2 - 36 = -36 \উপরের সমীকরণটি সরল করলে:
(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 16অর্থাৎ, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \(C_1 = (-4, 6)\) এবং রেডিয়াস \(r_1 = 4\)। অপরদিকে, দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:
\(x^2 + y^2 - 8x + 12y + 36 = 0\)অর্থাৎ:
\(x^2 - 8x + y^2 + 12y = -36 \) সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি: \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] \[ y^2 + 12y = (y + 6)^2 - 36 \] অতএব,(x - 4)^2 - 16 + (y + 6)^2 - 36 = -36 \সরলীকরণ করলে:(x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 16অর্থাৎ, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2 = (4, -6)\) এবং রেডিয়াস \(r_2 = 4\)।ধাপ 2: দুই বৃত্তের মধ্যে দূরত্ব ও স্পর্শের ধরন নির্ণয়
দুটি কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব:\(d = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-6 - 6)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-12)^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}\)অর্থাৎ, \(d = 4\sqrt{13}\) বৃত্তের রেডিয়াস সমূহ:\(r_1 = 4,\quad r_2 = 4\)স্পর্শের ধরন নির্ণয় করি: - যদি \(d > r_1 + r_2\), তাহলে বাহিরে দুইটি স্পর্শক থাকে। - যদি \(d = r_1 + r_2\), তাহলে বাহিরে একটিমাত্র সাধারণ স্পর্শক। - যদি \(d = |r_1 - r_2|\), তাহলে অভ্যন্তরে একটিমাত্র সাধারণ স্পর্শক। - যদি \(d < |r_1 - r_2|\), তাহলে কোন সাধারণ স্পর্শক নেই। - যদি \(d = 0\) এবং রেডিয়াস সমান, তাহলে উভয় বৃত্ত একত্রিত। এখানে,\(r_1 + r_2 = 8\) \[ |r_1 - r_2| = 0 \] উপরে দেখেছি, \(d = 4\sqrt{13}\). এখন, \(\sqrt{13} \approx 3.605\), তাই: \(d \approx 4 \times 3.605 = 14.42\) অতএব,\(d \approx 14.42\)এবং,\(r_1 + r_2 = 8\) \যেহেতু, \(d > r_1 + r_2\), অর্থাৎ \(14.42 > 8\), তাহলে উভয় বৃত্তের বাহিরে তিনটি সাধারণ স্পর্শক থাকবে: - বাহিরে 2টি সাধারণ স্পর্শক (প্রতিটি বৃত্তের বাইরে) - একটি অভ্যন্তরীণ স্পর্শক (দুই বৃত্তের মধ্যে) তবে, এই পরিস্থিতিতে, সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা নির্ণয় করতে: যদি দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব \(d\) এবং তাদের রেডিয়াস \(r_1, r_2\) হয়, তাহলে: - বাহিরে সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা: 2 (যখন \(d > r_1 + r_2\)) - অভ্যন্তরে সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা: 1 (যখন \(d = |r_1 - r_2|\)) - যদি \(d = r_1 + r_2\) বা \(d = |r_1 - r_2|\), তাহলে স্পর্শক সংখ্যা 1 বা 2 হতে পারে। এখানে, \(d \neq r_1 + r_2\) বা \(d \neq |r_1 - r_2|\), ফলে, সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা = 3 ।উপসংহার:
সুতরাং, এই দুই বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা = 3।