x²+y²+2gx+2fy+c=0 বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করলে নিচের কোনটি সত্য হবে?

দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ:

\[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \]

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে।

যদি বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে, তবে এর অর্থ হল, বৃত্তটির কেন্দ্র ও its স্পর্শ বিন্দু x অক্ষের উপর থাকবে।

বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান:

\[ \text{Centre} = (-g, -f) \]

বৃত্তের রেডিয়াস \( r \) হচ্ছে:

\[ r^2 = g^2 + f^2 - c \]

যেহেতু বৃত্তটি x অক্ষের স্পর্শ, তাই স্পর্শ বিন্দু হবে (x₀, 0)।

বৃত্তের সমীকরণে x অক্ষের উপর স্পর্শ বিন্দুর জন্য, এটির সাথে বৃত্তের দূরত্ব হবে তার রেডিয়াসের সমান।

এখন, কেন্দ্রের থেকে x অক্ষের দূরত্ব হল:

\[ \text{Distance} = | -f | = |f| \]

কারণ, এটি স্পর্শ বিন্দু, তাই:

\[ \text{Distance} = r \]

অর্থাৎ:

\[ |f| = r \]

অর্থাৎ:

\[ r = |f| \]

এখন, রেডিয়াসের মান অনুযায়ী:

\[ r^2 = g^2 + f^2 - c \]

এবং, কারণ \( r = |f| \), তাই:

\[ r^2 = f^2 \]

অতএব:

\[ f^2 = g^2 + f^2 - c \]

দুটি সমান হয়ে গেলে, নিচের রূপ নেবে:

\[ 0 = g^2 - c \]

অর্থাৎ:

\[ g^2 = c \]