k এর কোন মানের জন্য 3x+4y=k সরলরেখাটি  x²+y² = 10x বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(k\) এর কোন মানের জন্য \(3x + 4y = k\) সরলরেখাটি \(x^2 + y^2 = 10x\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে? সমাধান: প্রথমে বৃত্তের সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড রূপে লিখি: \[ x^2 + y^2 = 10x \] প্রতিটি \(y\) এর জন্য সমাধান করতে, আমরা রেখা সমীকরণটি ব্যবহার করব: \[ 3x + 4y = k \Rightarrow 4y = k - 3x \Rightarrow y = \frac{k - 3x}{4} \] এখন, এই রেখা বৃত্তের সাথে স্পর্শ করবে মানে, রেখা ও বৃত্তের সমাধান এক মাত্র হবে। অর্থাৎ, রেখার সমীকরণকে বৃত্তের সমীকরণের মধ্যে বসালে, সমাধান একমাত্র হবে। এর জন্য, আমরা রেখার সমীকরণকে বৃত্তের সমীকরণে বসাবো: \[ x^2 + y^2 = 10x \] প্রতিস্থাপন করি: \[ x^2 + \left(\frac{k - 3x}{4}\right)^2 = 10x \] উপস্থাপন করি: \[ x^2 + \frac{(k - 3x)^2}{16} = 10x \] মাল্টিপ্লাই করি 16 দ্বারা: \[ 16x^2 + (k - 3x)^2 = 160x \] বিস্তৃত করি: \[ 16x^2 + (k^2 - 6kx + 9x^2) = 160x \] সংগঠিত করি: \[ 16x^2 + 9x^2 - 6kx + k^2 = 160x \] \[ 25x^2 - 6kx + k^2 = 160x \] অতঃপর, সমাধান প্রক্রিয়ার জন্য, এই সমীকরণটি \(x\) এর জন্য একটি দ্বৈত সমীকরণ: \[ 25x^2 - (6k + 160)x + k^2 = 0 \] স্পর্শের জন্য, এই সমীকরণের ডেল্টা শূন্য হওয়া উচিত: \[ \Delta = [-(6k + 160)]^2 - 4 \times 25 \times k^2 = 0 \] গণনা করি: \[ \Delta = (6k + 160)^2 - 100k^2 \] বিস্তৃত করি: \[ (6k + 160)^2 = 36k^2 + 2 \times 6k \times 160 + 160^2 = 36k^2 + 1920k + 25600 \] অতঃপর: \[ \Delta = 36k^2 + 1920k + 25600 - 100k^2 = 0 \] সংক্ষেপে: \[ (36k^2 - 100k^2) + 1920k + 25600 = 0 \] \[ -64k^2 + 1920k + 25600 = 0 \] অথবা, \[ 64k^2 - 1920k - 25600 = 0 \] দ্বৈত সমাধান করি: প্রথমে সাধারণ অংকন করি: \[ k^2 - \frac{1920}{64}k - \frac{25600}{64} = 0 \] \[ k^2 - 30k - 400 = 0 \] এখন, সমাধান করি: \[ k = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \times 1 \times (-400)}}{2} \] গণনা করি: \[ k = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 1600}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{2500}}{2} \] \[ k = \frac{30 \pm 50}{2} \] অর্থাৎ, \[ k = \frac{30 + 50}{2} = \frac{80}{2} = 40 \] অথবা, \[ k = \frac{30 - 50}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \] অতএব, \(k\) এর মানের জন্য: \[ \boxed{ k = 40 \quad \text{অথবা} \quad k = -10 } \]