\( x^2+y^2-4x-6y+c=0 \) বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে। c এর মান কত?
প্রশ্ন: \( x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0 \) বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে। c এর মান কত?
উত্তর: 4
সমাধান:
প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটি সাধারণ রূপে আছে:
\[ x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0 \]এটি বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে, আমরা এর উপসর্গগুলো সম্পূর্ণ স্কোয়ার রূপে রূপান্তর করব।
ধাপ 1: x ও y এর জন্য সম্পূর্ণ স্কোয়ার রূপে রূপান্তর
x এর জন্য:
\[ x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 \]y এর জন্য:
\[ y^2 - 6y = (y^2 - 6y + 9) - 9 = (y - 3)^2 - 9 \]ধাপ 2: সমীকরণে স্থানান্তর করুন
বৃত্তের সমীকরণ এখন হবে:
\[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + c = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (c - 13) = 0 \]ধাপ 3: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়
বৃত্তের কেন্দ্র হলো: \((2, 3)\)
ব্যাসার্ধের বর্গফল (\(r^2\)) হলো: \(- (c - 13)\)
অর্থাৎ,
\[
r^2 = 13 - c
\]
ধাপ 4: x অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত
যেহেতু বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই এর y-অক্ষের উপর কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করবে। অর্থাৎ, y=0 স্থানে বৃত্তের সমীকরণের সাথে সমাধান করলে একমাত্র একটিই সমাধান থাকবে।
তাই, y=0 বসিয়ে সমীকরণে:
\[ (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (c - 13) = 0 \] \[ (x - 2)^2 + 9 + c - 13 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + c - 4 = 0 \]এখানে, x এর জন্য সমাধান থাকুক বা না থাকুক, একমাত্র একটিই সমাধান হলে, অর্থাৎ, বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে।
অর্থাৎ, এই সমীকরণের জন্য ডিসক্রিমিন্যান্টটি শূন্য হওয়া উচিত। তবে, এখানে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি নির্দিষ্ট মানে একমাত্র এক সমাধান থাকতে হবে।
ধাপ 5: সমাধান নির্ণয়
যেহেতু, y=0 এর জন্য সমীকরণটি:
\[ (x - 2)^2 + c - 4 = 0 \]এটি x এর জন্য সমাধান করলে:
\[ (x - 2)^2 = 4 - c \]একটি একমাত্র সমাধানের জন্য, বর্গফলটি শূন্য হওয়া উচিত:
\[ 4 - c = 0 \] \[ c = 4 \]উপসংহার:
অতএব, c এর মান হলো 4.