x² + y² - 12x + 8y + c = 0 বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে।

স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( x^2 + y^2 - 12x + 8y + c = 0 \) বৃত্তটি \( x \)-অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

সমাধান:

প্রথমে বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে পারি। বৃত্তের সমীকরণটি নিম্নরূপ:

\( x^2 - 12x + y^2 + 8y + c = 0 \)

বৃত্তের কেন্দ্রের জন্য সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি:

\( (x^2 - 12x) + (y^2 + 8y) = -c \)

প্রতিটি ভাগের জন্য সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি:

\( x^2 - 12x = (x - 6)^2 - 36 \)

\( y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16 \)

অতএব, সমীকরণটি হয়:

\( (x - 6)^2 - 36 + (y + 4)^2 - 16 = -c \)

অথবা,

\( (x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 52 - c \)

এটি বৃত্তের কেন্দ্র হলো \( (6, -4) \) এবং ব্যাসার্ধ হলো \( r = \sqrt{52 - c} \)। বৃত্তটি \( x \)-অক্ষকে স্পর্শ করে, অর্থাৎ, \( y = 0 \) রেখায় স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দু?? স্থানাঙ্ক হবে যেখানে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে \( x \)-অক্ষের দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান। অর্থাৎ,

দূরত্ব কেন্দ্র থেকে \( x \)-অক্ষের = ব্যাসার্ধ

কেন্দ্রের \( y \) মান হলো \(-4\), এবং \( y = 0 \) থেকে দূরত্ব হল:

\( |0 - (-4)| = 4 \)

এবং,

\( r = 4 \)

অতএব,

\( \sqrt{52 - c} = 4 \)

\( 52 - c = 16 \)

\( c = 36 \)


এখন, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো যেখানে \( y = 0 \) এবং এই বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত। এর জন্য,

\( (x - 6)^2 + (0 + 4)^2 = 52 - c \)

\( (x - 6)^2 + 16 = 16 \)

\( (x - 6)^2 = 0 \)

\( x - 6 = 0 \)

অতএব,

\( x = 6 \)


সুতরাং, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো:

(6, 0)