\( 3x+4y=k \) রেখাটি \( x^2+y^2=10x \) বৃত্তকে স্পর্শ করে । K -এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

\( 3x + 4y = k \) রেখাটি \( x^2 + y^2 = 10x \) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(k\)-এর মান কত?

সমাধান:

প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি:

\[ x^2 + y^2 = 10x \] এটি থেক?? বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি। বৃত্তের সমীকরণকে সাধারণ রূপে লেখলে: \[ x^2 - 10x + y^2 = 0 \] Complete the square: \[ x^2 - 10x + 25 + y^2 = 25 \] \[ (x - 5)^2 + y^2 = 25 \] অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র \( C(5, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = 5 \)। প্রশ্ন অনুযায়ী, রেখা \( 3x + 4y = k \) বৃত্তকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ, রেখা ও বৃত্তের মধ্যে স্পর্শের সমীকরণে সমাধান একমাত্র হবে। স্পর্শের জন্য, রেখা এবং বৃত্তের মধ্যে দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। দূরত্ব সূত্র: \[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] যেখানে, রেখার সমীকরণ \( Ax + By + C = 0 \) রূপে লিখতে হবে। রেখা: \[ 3x + 4y = k \] অথবা, \[ 3x + 4y - k = 0 \] এখানে, \(A=3\), \(B=4\), \(C=-k\), এবং কেন্দ্র \( (x_0, y_0) = (5, 0) \)। দূরত্ব: \[ d = \frac{|3 \times 5 + 4 \times 0 - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|15 - k|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|15 - k|}{5} \] যেহেতু রেখা বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই: \[ d = r = 5 \] অর্থাৎ, \[ \frac{|15 - k|}{5} = 5 \] গুণ দিয়ে সমাধান করি: \[ |15 - k| = 25 \] মূল সমাধান: \[ 15 - k = 25 \quad \text{অথবা} \quad 15 - k = -25 \] প্রথমত: \[ 15 - k = 25 \Rightarrow k = 15 - 25 = -10 \] অন্যটি: \[ 15 - k = -25 \Rightarrow k = 15 + 25 = 40 \] অতএব, \(k\)-এর মান হলো: \[ \boxed{-10 \text{ এবং } 40} \]