x²+y²+2gx+2fy+c = 0  বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করলে নিচের কোনটি সঠিক ? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এই বৃত্তটি যদি \(x\)-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে নিম্নলিখিত কোনটি সঠিক? উত্তর: \(g^2 = c\) সমাধান: ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্রের সমন্বয় হলো \((h, k)\) এবং এর ব্যাসার্ধ হলো \(r\)। তাহলে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] এখন, সমীকরণটি উপরের আকারে দেওয়া হয়েছে: \[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \] এটি বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করতে, আমরা এর কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করব: \[ x^2 + 2gx + y^2 + 2fy + c = 0 \] সম্পূর্ণ বর্গের রূপান্তর: \[ (x^2 + 2gx + g^2) + (y^2 + 2fy + f^2) = -c + g^2 + f^2 \] অর্থাৎ, \[ (x + g)^2 + (y + f)^2 = g^2 + f^2 - c \] এখানে, \[ \text{কেন্দ্র} \quad (h, k) = (-g, -f) \] \[ \text{ব্যাসার্ধ} \quad r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \] এখন, যদি বৃত্তটি \(x\)-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে এই স্পর্শ বিন্দুটি \(x\)-অক্ষের উপর থাকবে। অর্থাৎ, স্পর্শ বিন্দুতে \(y=0\) হবে এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে এই বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। অতএব, \[ \text{দূরত্ব} \quad \text{কেন্দ্র} \to \text{স্পর্শ বিন্দু} = r \] কেন্দ্রের অবস্থান হলো \((-g, -f)\), এবং স্পর্শ বিন্দুটি \(y=0\)-এ। এটি হবে: \[ \text{দূরত্ব} = \text{অক্ষের উপর বিন্দু থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব} = |k| = |-f| \] এবং, \[ r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \] এখন, যেহেতু বৃত্তটি \(x\)-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে: \[ \text{দূরত্ব} = r \] অর্থাৎ, \[ |f| = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \] দুটি পক্ষের বর্গ করি: \[ f^2 = g^2 + f^2 - c \] প্রতিপাদ্য: \[ f^2 - f^2 = g^2 - c \] অর্থাৎ, \[ 0 = g^2 - c \] অতএব, \[ g^2 = c \] **উত্তর: \(\boxed{g^2 = c}\)**