Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0
\]
প্রথমে বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি। সমীকরণটি পূর্ণবর্গের মাধ্যমে রূপান্তর করি:
\[
x^2 - 8x + y^2 - 2y = -4
\]
প্রতিটি পরিবর্তনশীলের জন্য পূর্ণবর্গ যোগ করি:
\[
(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 2y + 1) = -4 + 16 + 1
\]
\[
(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 13
\]
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \( C(4, 1) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{13} \)।
এখন, রেখাটির সমীকরণ:
\[
3x + ky - 1 = 0
\]
এটি সাধারণ রৈখিক সমীকরণে:
\[
3x + ky = 1
\]
রেখা বৃত্তকে স্পর্শ করে থাকলে, রেখা ও বৃত্তের মধ্যে স্পর্শের বিন্দুতে সরাসরি সংযোগ থাকবে, অর্থাৎ, রেখা ও বৃত্তের মধ্যে দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
দূরত্বের সূত্র:
\[
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
যেখানে,
\( A = 3 \),
\( B = k \),
\( C = -1 \),
এবং \( (x_0, y_0) = (4, 1) \) (বৃত্তের কেন্দ্র)।
দূরত্ব:
\[
d = \frac{|3 \times 4 + k \times 1 - 1|}{\sqrt{3^2 + k^2}} = \frac{|12 + k - 1|}{\sqrt{9 + k^2}} = \frac{|k + 11|}{\sqrt{9 + k^2}}
\]
যেহেতু রেখা বৃত্তকে স্পর্শ করে, তার দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান:
\[
\frac{|k + 11|}{\sqrt{9 + k^2}} = \sqrt{13}
\]
উপরে অভিজ্ঞতা থেকে, দ্বিপদ সমাধান:
\[
|k + 11| = \sqrt{13} \times \sqrt{9 + k^2}
\]
দুইটি সম্ভাব্য সমাধান:
1. \( k + 11 = \sqrt{13} \times \sqrt{9 + k^2} \)
2. \( k + 11 = - \sqrt{13} \times \sqrt{9 + k^2} \)
প্রথম:
\[
k + 11 = \sqrt{13} \times \sqrt{9 + k^2}
\]
দুইপদ সমাধান করতে দুই পাশে স্কোয়ার করি:
\[
(k + 11)^2 = 13 (9 + k^2)
\]
বিস্তারিত:
\[
k^2 + 22k + 121 = 117 + 13k^2
\]
সব দিক থেকে সংযোজন:
\[
k^2 + 22k + 121 - 117 - 13k^2 = 0
\]
\[
-12k^2 + 22k + 4 = 0
\]
অথবা,
\[
12k^2 - 22k - 4 = 0
\]
সাধারণ গুণন:
\[
6k^2 - 11k - 2 = 0
\]
এখন, এই কোয়াড্রাটিক সমাধান করি:
\[
k = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \times 6 \times (-2)}}{2 \times 6}
\]
\[
k = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{12} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{12}
\]
\[
k = \frac{11 \pm 13}{12}
\]
অর্থাৎ:
\[
k = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2
\]
অথবা:
\[
k = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}
\]
দ্বিতীয় সমাধান জন্য:
\[
k + 11 = - \sqrt{13} \times \sqrt{9 + k^2}
\]
স্কোয়ার করি:
\[
(k + 11)^2 = 13 (9 + k^2)
\]
আবার একই সমাধান:
\[
6k^2 - 11k - 2 = 0
\]
অর্থাৎ, এই সমাধান???ুলো \(k=2\) ও \(k=-\frac{1}{6}\)।
সুতরাং, \(k\) এর মান হলো:
\[
k = 2 \quad \text{বা} \quad k = -\frac{1}{6}
\]
উল্লেখ্য, প্রশ্নে \( (2, -16) \) দেওয়া হয়েছে, যা হয়ত রেখার বিন্দু নয়, বরং অন্য কিছু। তবে, এই সমাধান অনুযায়ী, \(k=2\) হলে রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করবে।
**উপসংহার:**
\[
\boxed{
k = 2
}
\]
