3x+4y=k রেখাটি x²+y²=10x বৃত্তকে স্পর্শ করলে k এর মান কত?

দেয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 = 10x \)

বৃত্তের সমীকরণকে \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) আকারের সাথে তুলনা করে পাই,

\( x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 + y^2 = 5^2 \)

\( (x-5)^2 + (y-0)^2 = 5^2 \)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (5, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = 5 \)。

আবার, সরলরেখার সমীকরণ \( 3x + 4y = k \) বা, \( 3x + 4y - k = 0 \)

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

আমরা জানি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দু থেকে \( ax + by + c = 0 \) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \( d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

সুতরাং, \( (5, 0) \) থেকে \( 3x + 4y - k = 0 \) এর লম্ব দূরত্ব,

\( d = \frac{|3 \cdot 5 + 4 \cdot 0 - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|15 - k|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|15 - k|}{\sqrt{25}} = \frac{|15 - k|}{5} \)

যেহেতু \( d = r \), তাই

\( \frac{|15 - k|}{5} = 5 \)

\( |15 - k| = 25 \)

সুতরাং, \( 15 - k = 25 \) অথবা \( 15 - k = -25 \)

যদি \( 15 - k = 25 \) হয়, তবে \( k = 15 - 25 = -10 \)

যদি \( 15 - k = -25 \) হয়, তবে \( k = 15 + 25 = 40 \)

অতএব, k এর মান \( -10 \) অথবা \( 40 \) হতে পারে। প্রদত্ত উত্তরে \( k = 40 \) ধরা হয়েছে। 🥳