x+y=1 রেখাটি x²+y²-2ax=0 বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত?

প্রশ্ন: x+y=1 রেখাটি x²+y²-2ax=0 বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত?

সমাধান:

বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 2ax = 0\)
\(\implies x^2 - 2ax + y^2 = 0\)
\(\implies (x-a)^2 + y^2 = a^2\) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (a, 0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( |a| \)।

সরলরেখার সমীকরণ: \(x + y = 1\)
\(\implies x + y - 1 = 0\)

বৃত্তটি সরলরেখাকে স্পর্শ করার শর্ত হলো, কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান। কেন্দ্র \( (a, 0) \) থেকে \( x + y - 1 = 0 \) এর লম্ব দূরত্ব: \[ \frac{|a + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = |a| \] \[ \implies \frac{|a - 1|}{\sqrt{2}} = |a| \] \[ \implies |a - 1| = |a|\sqrt{2} \] বর্গ করে পাই, \[ (a - 1)^2 = 2a^2 \] \[ \implies a^2 - 2a + 1 = 2a^2 \] \[ \implies a^2 + 2a - 1 = 0 \] \[ \implies a^2 + 2a = 1 \]

অতএব, নির্ণেয় শর্ত: \( a^2 + 2a = 1 \) 🎉