2x - 3x - 9 = 0 রেখাটি x² + y² - 2x - 4y - c = 0 বৃত্তকে স্পর্শ করলে c -এর মান কত? 

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে সরলরেখা \(2x - 3y - 9 = 0\) এবং বৃত্ত \(x^2 + y^2 - 2x - 4y - c = 0\)। সরলরেখাটি বৃত্তটিকে স্পর্শ করে। সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে। বৃত্তের সমীকরণকে \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) আকারে প্রকাশ করে কেন্দ্র \((a, b)\) ও ব্যাসার্ধ \(r\) নির্ণয় করা যায়। \(x^2 + y^2 - 2x - 4y - c = 0\) \(\implies (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) - c = 0\) \(\implies (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - c - 1 - 4 = 0\) \(\implies (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = c + 5\) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \((1, 2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{c + 5}\)। কেন্দ্র \((1, 2)\) থেকে \(2x - 3y - 9 = 0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব হলো: \[d = \frac{|2(1) - 3(2) - 9|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|2 - 6 - 9|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-13|}{\sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}\] যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই \(d = r\) হবে। অতএব, \(\sqrt{13} = \sqrt{c + 5}\) \(\implies 13 = c + 5\) \(\implies c = 13 - 5 = 8\) সুতরাং, \(c = 8\) 🥳🎉