3x+4y=k রেখাটি x² + y² = 10x বৃত্তকে স্পর্শ করলে, k এর মান কোনটি?

দেয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 = 10x\)

বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়:

\(x^2 - 10x + y^2 = 0\)

\((x-5)^2 + y^2 = 5^2\)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \((5, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = 5\)।

সরলরেখার সমীকরণ:

\(3x + 4y = k\)

\(3x + 4y - k = 0\)

বৃত্তটি সরলরেখাকে স্পর্শ করে। সুতরাং, কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

কেন্দ্র \((5, 0)\) থেকে \(3x + 4y - k = 0\) এর লম্ব দূরত্ব:

\(\left| \frac{3(5) + 4(0) - k}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = 5\)

\(\left| \frac{15 - k}{\sqrt{9 + 16}} \right| = 5\)

\(\left| \frac{15 - k}{\sqrt{25}} \right| = 5\)

\(\left| \frac{15 - k}{5} \right| = 5\)

\(|15 - k| = 25\)

সুতরাং,

\(15 - k = 25\) অথবা \(15 - k = -25\)

যদি \(15 - k = 25\) হয়, তবে \(k = 15 - 25 = -10\).

যদি \(15 - k = -25\) হয়, তবে \(k = 15 + 25 = 40\).

অতএব, \(k\) এর মান \(40, -10\)। 🎉