একটি দেয়াল ঘড়ির ঘণ্টা, মিনিট ও সেকেন্ডের কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত কত?

Another Explanation (5):

একটি দেয়াল ঘড়ির ঘণ্টা, মিনিট ও সেকেন্ডের কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত নির্ণয় করতে হলে প্রথমে প্রতিটি কাঁটার কৌণিক বেগ নির্ণয় করতে হবে।

১. ঘণ্টার কাঁটার কৌণিক বেগ:

ঘণ্টার কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় ৩০° সরেযায় (কারণ ১২ ঘণ্টায় 360°), তবে এটি প্রতি মিনিটে অর্ধেক ডিগ্রি সরেযায়।

অর্থাৎ, ঘণ্টার কৌণিক বেগ (°/min):

\[ \omega_{hour} = \frac{360°}{12 \text{ ঘণ্ট} \times 60 \text{ মিনিট}} = \frac{360°}{720} = 0.5°/\text{min} \]
এছাড়া, প্রতি সেকেন্ডে ঘণ্টার কাঁটা কত সরেযায় তা জানার জন্য, ঘণ্টার কাঁটার সম্পূর্ণ গতির জন্য মিনিটের প্রভাবও বিবেচনা করতে হবে।

সাধারণত, ঘণ্টার কাঁটার কৌণিক বেগ (°/সেকেন্ড):

\[ \omega_{hour} = \frac{0.5°}{60} = \frac{1°}{120} = 0.008333...\,°/\text{সেকেন্ড} \] (কারণ, 1 মিনিটে 0.5° সরেযায়, সুতরাং ১ সেকেন্ডে সরেযায় হবে 0.5°/60 = 0.008333°)

২. মিনিটের কাঁটার কৌণিক বেগ:

মিনিটের কাঁটা প্রতি মিনিটে ৬° সরেযায় (কারণ 60 মিনিটে 360°)।

অর্থাৎ, মিনিটের কৌণিক বেগ (°/min):

\[ \omega_{minute} = 6°/\text{min} \] এবং, প্রতি সেকেন্ডে:

\[ \omega_{minute} = \frac{6°}{60} = 0.1°/\text{সেকেন্ড} \]

৩. সেকেন্ডের কাঁটার কৌণিক বেগ:

সেকেন্ডের কাঁটা প্রতি সেকেন্ডে ৬° সরেযায় (কারণ 60 সেকেন্ডে 360°)।

অর্থাৎ, সেকেন্ডের কৌণিক বেগ (°/সেকেন্ড):

\[ \omega_{second} = 6°/\text{সেকেন্ড} \]

৪. অনুপাত নির্ণয়:

অতএব, ঘণ্টা, মিনিট ও সেকেন্ডের কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত হবে:

\[ \frac{\omega_{hour}}{\omega_{minute}} : \frac{\omega_{minute}}{\omega_{second}} \] অথবা, সরাসরি কৌণিক বেগের মানগুলো থেকে অনুপাত নির্ণয় করি:

• ঘণ্টার কৌণিক বেগ: \(\omega_{hour} = 0.008333\,°/\text{সেকেন্ড}\)
• মিনিটের কৌণিক বেগ: \(\omega_{minute} = 0.1\,°/\textেকেন্ড}\)
• সেকেন্ডের কৌণিক বেগ: \(\omega_{second} = 6\,°/\textেকেন্ড}\)

৫. অনুপাতের মান:

অতএব,

\[ \text{অনুপাত} = \frac{0.008333}{0.1} : \frac{0.1}{6} \] গণনা করলে:

\[ \frac{0.008333}{0.1} = 0.083333 \] \[ \frac{0.1}{6} = 0.0166667 \] অর্থাৎ, অনুপাত:

\[ 0.083333 : 0.0166667 \] যা সরলীকরণ করলে:

\[ \frac{0.083333}{0.0166667} = 5 \] অর্থাৎ, কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত হল: \[ \boxed{5} \] উল্লেখ্য, প্রশ্নে উল্লিখিত মানটি সম্ভবত মোট কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাতের জন্য দেওয়া হয়েছে। তবে, সঠিক বিশ্লেষণে দেখা যায় যে, ঘণ্টার কাঁটার কৌণিক বেগ মিনিট ও সেকেন্ডের তুলনায় খুবই কম, এবং তাদের অনুপাত প্রায় 1:12:720 এর মতো। যদি প্রশ্নে নির্দিষ্ট করে থাকে কেবলমাত্র অনুপাতের মান, তাহলে এটি 5 এর কাছাকাছি মান হতে পারে। তবে, প্রদত্ত মানটি (0.058333333333333334) সম্ভবত অন্য কোনও নির্দিষ্ট অনুপাত বা হিসাবের ফলাফল। সুতরাং, মূল সূত্র অনুসারে, কাঁটার কৌণিক বেগের অনুপাত মূলতঃ 1:12:720 এর মতো।