cosA + cos(120°+A) + cos(120°-A)  এর মান কত? 

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\cos A + \cos(120^\circ + A) + \cos(120^\circ - A)\) এর মান কত?

উত্তর: 0

সমাধান:

আমরা প্রথমে ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণগুলোকে সহজ করব।

প্রথম অংশ: \(\cos A\)

দ্বিতীয় অংশ: \(\cos(120^\circ + A)\)

তৃতীয় অংশ: \(\cos(120^\circ - A)\)

আমরা জানি যে, \(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\) এবং \(\cos(120^\circ \pm A)\) এর জন্য, আমরা কৃত্রিম সমীকরণ ব্যবহার করব।

প্রথম, আমরা \(\cos(120^\circ + A)\) লিখব:

\[ \cos(120^\circ + A) = \cos 120^\circ \cos A - \sin 120^\circ \sin A \] এবং \(\cos(120^\circ - A)\): \[ \cos(120^\circ - A) = \cos 120^\circ \cos A + \sin 120^\circ \sin A \] আমরা জানি যে, \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\) এবং \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)। এখন, সমাধান করি: \[ \cos(120^\circ + A) = -\frac{1}{2} \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \] \[ \cos(120^\circ - A) = -\frac{1}{2} \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \] এখন, যোগ করি সব অংশ: \[ \cos A + \left( -\frac{1}{2} \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \right) + \left( -\frac{1}{2} \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \right) \] সমষ্টি হলে: \[ \cos A - \frac{1}{2} \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A - \frac{1}{2} \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \] \[ = \left( \cos A - \frac{1}{2} \cos A - \frac{1}{2} \cos A \right) + \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A \right) \] \[ = \left( \cos A - \cos A \right) + 0 \] \[ = 0 \] **অতএব,** \[ \boxed{ \cos A + \cos(120^\circ + A) + \cos(120^\circ - A) = 0 } \]