\( \cos^2(60^\circ+A)+\cos^2(60^\circ-A) \) এর মান-

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( \cos^2(60^\circ+A)+\cos^2(60^\circ-A) \) এর মান কি?

উত্তর: \( 1 - \frac{1}{2} \cos 2A \)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা দুইটি সমানুপাতিক সমীকরণ ব্যবহার করব:

• \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \)

অর্থাৎ,

$$ \cos^2(60^\circ + A) = \frac{1 + \cos 2(60^\circ + A)}{2} $$ এবং $$ \cos^2(60^\circ - A) = \frac{1 + \cos 2(60^\circ - A)}{2} $$

তাহলে, যোগফল হবে:

$$ \cos^2(60^\circ + A) + \cos^2(60^\circ - A) = \frac{1 + \cos 2(60^\circ + A)}{2} + \frac{1 + \cos 2(60^\circ - A)}{2} $$ অথবা, $$ = \frac{(1 + \cos 2(60^\circ + A)) + (1 + \cos 2(60^\circ - A))}{2} $$ $$ = \frac{2 + \cos 2(60^\circ + A) + \cos 2(60^\circ - A)}{2} $$

এখন, আমরা \( \cos 2(60^\circ + A) \) এবং \( \cos 2(60^\circ - A) \) এর মান নির্ণয় করব।

দুটি কোণের ডাবল অ্যাঙ্গেল সমীকরণ ব্যবহার করে,

$$ \cos 2(60^\circ + A) = \cos (120^\circ + 2A) $$ এবং $$ \cos 2(60^\circ - A) = \cos (120^\circ - 2A) $$

আমরা জানি যে,

$$ \cos (p + q) + \cos (p - q) = 2 \cos p \cos q $$

এক্ষেত্রে, সেটি ব্যবহার করে:

$$ \cos (120^\circ + 2A) + \cos (120^\circ - 2A) = 2 \cos 120^\circ \cos 2A $$

যেহেতু, \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), তাই:

$$ \cos 120^\circ \cos 2A = -\frac{1}{2} \cos 2A $$

অতএব,

$$ \cos 2(60^\circ + A) + \cos 2(60^\circ - A) = 2 \times \left(-\frac{1}{2} \cos 2A \right) = -\cos 2A $$

সুতরাং, মূল সমীকরণে সেটি প্রতিস্থাপন করলে:

$$ \cos^2(60^\circ + A) + \cos^2(60^\circ - A) = \frac{2 - \cos 2A}{2} = 1 - \frac{1}{2} \cos 2A $$

অতএব, উত্তর হলো:

\( \boxed{1 - \frac{1}{2} \cos 2A} \)