sin18^@=? 

ধরি, \( \theta = 18^\circ \)

সুতরাং, \( 5\theta = 90^\circ \)

আমরা লিখতে পারি, \( 2\theta + 3\theta = 90^\circ \)

বা, \( 2\theta = 90^\circ - 3\theta \)

উভয় দিকে সাইন নিয়ে পাই, \( \sin(2\theta) = \sin(90^\circ - 3\theta) \)

\( \implies \sin(2\theta) = \cos(3\theta) \)

আমরা জানি, \( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \) এবং \( \cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \)

সুতরাং, \( 2\sin\theta\cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \)

\( \implies 2\sin\theta\cos\theta = \cos\theta(4\cos^2\theta - 3) \)

যেহেতু, \( \cos\theta \neq 0 \), তাই উভয় দিকে \( \cos\theta \) দিয়ে ভাগ করে পাই,

\( 2\sin\theta = 4\cos^2\theta - 3 \)

\( \implies 2\sin\theta = 4(1 - \sin^2\theta) - 3 \)

\( \implies 2\sin\theta = 4 - 4\sin^2\theta - 3 \)

\( \implies 2\sin\theta = 1 - 4\sin^2\theta \)

\( \implies 4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0 \)

ধরি, \( x = \sin\theta \)

সুতরাং, \( 4x^2 + 2x - 1 = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা শ্রীধর আচার্যের সূত্র ব্যবহার করে পাই,

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

এখানে, \( a = 4, b = 2, c = -1 \)

সুতরাং, \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \)

\( \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} \)

\( \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} \)

\( \implies x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} \)

\( \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \)

যেহেতু, \( \theta = 18^\circ \), সুতরাং \( \sin\theta > 0 \)

তাই, \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \)

সুতরাং, \( \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \) 🎉