tan(π/8) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)\) এর মান কত? উত্তর: \(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1\) সমাধান: আমরা জানি যে, \[ \frac{\pi}{8} = 22.5^\circ \] এবং এর সাথে পরিচিত টেকনিক্যাল ট্রিগোনোমেট্রিক সম্পর্ক অনুযায়ী, \[ \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \tan(22.5^\circ) \] আমরা ট্যানজেন্টের ডিভাইডিং ফর্মুলা ব্যবহার করতে পারি: \[ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \] অথবা, \[ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \] এখানে, \(\theta = \frac{\pi}{4}\) (যেহেতু \(\frac{\pi}{8} = \frac{\pi/4}{2}\))। আমরা জানি: \[ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] সুতরাং, \[ \tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} \] উপরে, \[ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \] দুটি ভগ্নাংশের উপরের ও নিচের সংখ্যাগুলি 2 দ্বারা ভাগ করলে, \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \] এখন, ডেনোমিনেটরকে র্যাশনালাইজ করতে, \[ \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \times \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} \] ডেনোমিনেটর, \[ (2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2 \] এবং, উপর, \[ \sqrt{2} \times 2 - \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2 \] অর্থাৎ, \[ = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2} = \sqrt{2} - 1 \] সুতরাং, \[ \boxed{ \tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1 } \]