Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \(\tan \theta = \frac{1}{3}\) এবং \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\), তখন \(\sin(-\theta) - \cos \theta\) এর মান কত?
সমাধান:
প্রথমে, আমরা জানি যে:
- \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{3}\)
- এবং \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\), অর্থাৎ ত্রিকোণমিত্রের তৃতীয় কোণার মধ্যে, যেখানে \(\sin \theta < 0\) এবং \(\cos \theta < 0\)
ধাপ ১: ত্রিভুজের পাশে নির্ণয়
ধরি, \(\sin \theta = y\), \(\cos \theta = x\), এবং হাইপোথেনিউস \(r\)।
তাহলে, \(\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{3}\), অর্থাৎ:
\[
y = \frac{1}{3} x
\]
ধাপ ২: হাইপোথেনিউস নির্ণয়
তাদের জন্য, ত্রিভুজের পাইথাগোরাস থিওরেম:
\[
x^2 + y^2 = r^2
\]
প্রতিস্থাপন করে:
\[
x^2 + \left(\frac{1}{3} x\right)^2 = r^2
\]
\[
x^2 + \frac{1}{9} x^2 = r^2
\]
\[
\left(1 + \frac{1}{9}\right) x^2 = r^2
\]
\[
\frac{10}{9} x^2 = r^2
\]
\[
r = \sqrt{\frac{10}{9} x^2} = \frac{\sqrt{10}}{3} |x|
\]
এখন, since \(\theta\) তে ত্রিকোণমিত্রের কোণ তৃতীয় কোণের মধ্যে, আমরা জানি যে \(\cos \theta < 0\) এবং \(\sin \theta < 0\), তাই \(x < 0\) এবং \(y < 0\) হয়। ফলে, \(|x| = -x\).
তাই,
\[
r = \frac{\sqrt{10}}{3} (-x)
\]
ধাপ ৩: \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) নির্ণয়
\[
\sin \theta = y = \frac{1}{3} x
\]
\[
\cos \theta = x
\]
এবং,
\[
r = \frac{\sqrt{10}}{3} (-x)
\]
প্রতিটি মানের জন্য, \(\sin \theta\) এবং \(\cos \theta\) এর মান দিয়ে দেখি:
\[
\sin \theta = y = \frac{1}{3} x
\]
তাই,
\[
\sin \theta = \frac{1}{3} x
\]
এবং,
\[
\cos \theta = x
\]
ধাপ ৪: \(\sin(-\theta)\) নির্ণয়
\[
\sin(-\theta) = - \sin \theta = - \frac{1}{3} x
\]
ধাপ ৫: মূল অভিব্যক্তি হিসাব
\[
\sin(-\theta) - \cos \theta = - \frac{1}{3} x - x = - \left(\frac{1}{3} x + x\right) = - \left(\frac{1}{3} x + \frac{3}{3} x\right) = - \frac{4}{3} x
\]
এখন, \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, \(r = \frac{\sqrt{10}}{3} (-x)\), এবং \(r\) ইতিবাচক। এর মানে, \(x < 0\).
তাহলে, \(x\) এর মানের জন্য, আমরা চাই:
\[
r = \frac{\sqrt{10}}{3} (-x)
\]
আমাদের মূল অবজেক্টিভ হল, \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) এর মান ব্যবহার করে \(\sin(-\theta) - \cos \theta\) এর মান বের করা।
তবে, এই পরিস্থিতিতে, আমরা \(x\) এর জন্য একটি নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করতে পারি:
\[
r^2 = x^2 + y^2 = x^2 + \left(\frac{1}{3} x\right)^2 = x^2 + \frac{1}{9} x^2 = \frac{10}{9} x^2
\]
এবং,
\[
r = \frac{\sqrt{10}}{3} |x|
\]
এবং, \(r\) এর মানের উপর ভিত্তি করে, \(x\) এর মান:
\[
x = - \frac{3}{\sqrt{10}} r
\]
তাই,
\[
\sin(-\theta) - \cos \theta = - \frac{4}{3} x = - \frac{4}{3} \times \left(- \frac{3}{\sqrt{10}} r\right) = \frac{4}{3} \times \frac{3}{\sqrt{10}} r = \frac{4}{\sqrt{10}} r
\]
চলুন, \(r\) এর মান নির্ণয় করি। \(\sin \theta = y = \frac{1}{3} x\), এবং \(x = - \frac{3}{\sqrt{10}} r\) থেকে,
\[
y = \frac{1}{3} \times \left(- \frac{3}{\sqrt{10}} r \right) = - \frac{1}{\sqrt{10}} r
\]
তাই,
\[
\sin \theta = y = - \frac{1}{\sqrt{10}} r
\]
এবং,
\[
\cos \theta = x = - \frac{3}{\sqrt{10}} r
\]
চূড়ান্তভাবে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,
\[
\sin(-\theta) - \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{10}} r
\]
যদিও \(r\) এর মানের জন্য নির্দিষ্ট মান দেওয়া হয়নি, তবে প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া মান অনুযায়ী, এটি \(\frac{4}{\sqrt{10}}\) হয়।
অতএব,
\[
\boxed{
\sin(-\theta) - \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{10}}
}
\]
