Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদানকৃত বিন্দু: \( (2, -1) \)
রেখার সমীকরণ: \( 4x - 3y = 12 \)
ধাপ ১: রেখাটির সাধারণ রূপ ও এর লম্বের রেখার সমীকরণ নির্ণয়
রেখার সমীকরণ: \( 4x - 3y = 12 \)
এখানে, রেখার সাধারন ঢাল (slope):
\[
m = \frac{\text{coefficient of } x}{\text{coefficient of } y} = \frac{4}{3}
\]
(এটি \( y \) এর পক্ষে সমীকরণ লেখলে: \( y = \frac{4}{3}x - 4 \), যেখানে ঢাল \( \frac{4}{3} \))
লম্বের রেখার ঢাল হবে এর বিপরীত ও ঋণাত্মক:
\[
m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{3}{4}
\]
ধাপ ২: বিন্দু থেকে লম্বের রেখার সমীকরণ নির্ণয়
বিন্দু: \( (2, -1) \)
লম্বের রেখার সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m_{\perp} (x - x_1)
\]
\[
y + 1 = -\frac{3}{4}(x - 2)
\]
এখন, সমীকরণটি সরলীকরণ করি:
\[
y + 1 = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{2}
\]
\[
y = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} - 1
\]
\[
y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}
\]
ধাপ ৩: দুই রেখার মিলিত বিন্দু নির্ণয় (প্রজেকশন পয়েন্ট)
প্রথম রেখার সমীকরণ:
\[
4x - 3y = 12
\]
দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ:
\[
y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}
\]
এখন, প্রথম সমীকরণে \( y \) এর মান বসিয়ে দিই:
\[
4x - 3\left(-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}\right) = 12
\]
বিন্যাস:
\[
4x + \frac{9}{4}x - \frac{3}{2} = 12
\]
সম্ভূত ভগ্নাংশগুলো সমান করে নিই:
\[
\frac{16}{4}x + \frac{9}{4}x - \frac{3}{2} = 12
\]
\[
\frac{25}{4}x - \frac{3}{2} = 12
\]
উভয় পাশে 4 দ্বারা গুণ:
\[
25x - 6 = 48
\]
\[
25x = 54
\]
\[
x = \frac{54}{25}
\]
অতঃপর, \( y \) এর মান:
\[
y = -\frac{3}{4} \times \frac{54}{25} + \frac{1}{2}
\]
\[
y = -\frac{3 \times 54}{4 \times 25} + \frac{1}{2}
\]
\[
y = -\frac{162}{100} + \frac{1}{2}
\]
\[
y = -\frac{81}{50} + \frac{25}{50} = -\frac{81 - 25}{50} = -\frac{56}{50} = -\frac{28}{25}
\]
প্রজেকশন পয়েন্ট:
\[
P = \left(\frac{54}{25}, -\frac{28}{25}\right)
\]
ধাপ ৪: দৈর্ঘ্য নির্ণয়
প্রদত্ত বিন্দু \( A = (2, -1) \)
প্রজেকশন পয়েন্ট \( P = \left(\frac{54}{25}, -\frac{28}{25}\right) \)
দৈর্ঘ্য:
\[
d = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}
\]
\[
x_1 = 2 = \frac{50}{25}
\]
\[
x_2 = \frac{54}{25}
\]
\[
y_1 = -1 = -\frac{25}{25}
\]
\[
y_2 = -\frac{28}{25}
\]
অর্থাৎ,
\[
d = \sqrt{\left(\frac{54}{25} - \frac{50}{25}\right)^2 + \left(-\frac{28}{25} + \frac{25}{25}\right)^2}
\]
\[
d = \sqrt{\left(\frac{4}{25}\right)^2 + \left(-\frac{3}{25}\right)^2}
\]
\[
d = \sqrt{\frac{16}{625} + \frac{9}{625}} = \sqrt{\frac{25}{625}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}
\]
উত্তর:
\[
\boxed{\text{লম্বের দৈর্ঘ্য} = \frac{1}{5}}
\]
