Explanation: (1/8, -1/16)
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \(y^2 = 2x^3\) বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকটি \(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার লম্ব হবে?
সমাধান:
ধরি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে \(y^2 = 2x^3\) বক্ররেখার স্পর্শক \(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার উপর লম্ব।
\(y^2 = 2x^3\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,
\[
2y \frac{dy}{dx} = 6x^2
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{y}
\]
সুতরাং, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
\[
m_1 = \frac{3x_1^2}{y_1}
\]
\(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার ঢাল,
\[
3y = 4x + 1
\]
\[
y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}
\]
\[
m_2 = \frac{4}{3}
\]
যেহেতু স্পর্শকটি \(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার উপর লম্ব,
\[
m_1 \cdot m_2 = -1
\]
\[
\frac{3x_1^2}{y_1} \cdot \frac{4}{3} = -1
\]
\[
\frac{4x_1^2}{y_1} = -1
\]
\[
y_1 = -4x_1^2 \quad \cdots (1)
\]
আবার, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুটি \(y^2 = 2x^3\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং,
\[
y_1^2 = 2x_1^3 \quad \cdots (2)
\]
\( (1) \) নং সমীকরণ থেকে \(y_1\) এর মান \( (2) \) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\[
(-4x_1^2)^2 = 2x_1^3
\]
\[
16x_1^4 = 2x_1^3
\]
\[
8x_1^4 = x_1^3
\]
\[
8x_1^4 - x_1^3 = 0
\]
\[
x_1^3(8x_1 - 1) = 0
\]
সুতরাং, \(x_1 = 0\) অথবা \(x_1 = \frac{1}{8}\)
যদি \(x_1 = 0\) হয়, তবে \(y_1 = -4(0)^2 = 0\)। কিন্তু \(\frac{dy}{dx}\) এর মান অসংজ্ঞায়িত হবে। 🤯
যদি \(x_1 = \frac{1}{8}\) হয়, তবে \(y_1 = -4(\frac{1}{8})^2 = -4 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{1}{16}\)
অতএব, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \( (\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}) \) । 🎉
```
