q এর কোন মূলদ মানের জন্য \( x^3 + 3x^2 -27x +q = 0 \) সমীকরণের একটি মূল \( 2+\sqrt{3} \) হবে?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এই প্রশ্নে \( x^3 + 3x^2 -27x +q = 0 \) সমীকরণের একটি মূল \( 2+\sqrt{3} \) হবে এমন শর্ত দেওয়া হয়েছে। এখানে, \( 2+\sqrt{3} \) সমীকরণের মূল হলে, তার মান অনুযায়ী \( q \) এর মান বের করতে হবে। সমীকরণের মধ্যে \( x = 2+\sqrt{3} \) স্থাপন করলে, সমীকরণটি পূর্ণ হতে হবে। অপশন বিশ্লেষণ: A. 2: ভুল, এটি সঠিক মান নয়। B. 3: ভুল, এই মানে সমীকরণটি সঠিক হয় না। C. -4: ভুল, সঠিক উত্তর নয়। D. -5: ভুল, সমীকরণ অনুযায়ী সঠিক নয়। E. 7: সঠিক, এই মান সমীকরণের শর্ত পূর্ণ করে। নোট: এই প্রশ্নে সমীকরণে \( x = 2+\sqrt{3} \) স্থাপন করে \( q \)-এর সঠিক মান 7 বের করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: q এর মান নির্ণয়

ধরি, \( p(x) = x^3 + 3x^2 - 27x + q = 0 \)
যেহেতু সমীকরণটির সহগগুলো মূলদ এবং \( 2+\sqrt{3} \) একটি মূল, তাই \( 2-\sqrt{3} \) ও এর একটি মূল হবে। 🤔 ধরি, তৃতীয় মূলটি \( \alpha \).

আমরা জানি, মূলগুলোর যোগফল = \( -(x^2 \) এর সহগ) / (\(x^3 \) এর সহগ)
সুতরাং, \( (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + \alpha = -3 \)
\( 4 + \alpha = -3 \)
\( \alpha = -7 \)

আবার, মূলগুলোর গুণফল = \( - \)(ধ্রুবক পদ) / (\(x^3 \) এর সহগ)
সুতরাং, \( (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})(-7) = -q \)
\( (4 - 3)(-7) = -q \)
\( (1)(-7) = -q \)
\( -7 = -q \)
\( q = 7 \) 🎉

অতএব, \( q \) এর মান 7 হলে প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল \( 2+\sqrt{3} \) হবে। 🥳

```