কোন সরলরেখাটি 2x+5y+10=0 এর উপর লম্ব?
প্রশ্ন: কোন সরলরেখাটি \(2x + 5y + 10 = 0\) এর উপর লম্ব?
উত্তর: একটি রেখা অন্য এক রেখার উপর লম্ব হলে, তাদের ঢাল (slope) গুণফল \(-1\) হয়।
প্রথমে, মূল রেখার ঢাল নির্ণয় করি।
রেখা: \(2x + 5y + 10 = 0\)
এটি সাধারণ রেখার রূপে লিখলে:
\(5y = -2x - 10\)
\(y = -\frac{2}{5}x - 2\)
অতএব, এই রেখার ঢাল \(m_1 = -\frac{2}{5}\)
দ্বিতীয় রেখার জন্য, ধরা যাক যে রেখাটির ঢাল \(m_2\)।
যেহেতু রেখাটি লম্ব, তাই:
\(m_1 \times m_2 = -1\)
অর্থাৎ:
\(-\frac{2}{5} \times m_2 = -1\)
অতএব:
\(m_2 = \frac{-1}{-\frac{2}{5}} = \frac{-1 \times 5}{-2} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}\)
এখন, রেখাটির সমাধান করি:
রেখার রূপ: \(y = m_2 x + c\)
যেখানে, লম্ব রেখাটি \(2x - 5y + c' = 0\) রূপে লিখতে পারি যাতে ঢাল \(m_2 = \frac{5}{2}\)
সুতরাং, \(2x - 5y + c' = 0\)
এখন, এই রেখার ঢাল নির্ণয় করি:
\( -5y = -2x - c'\)
\( y = \frac{2}{5}x + \frac{c'}{5} \)
অতএব, ঢাল হল \( \frac{2}{5} \)
তাই, এই রেখাটির ঢাল \( \frac{2}{5} \) হয়।
সুতরাং, রেখাটির সমীকরণ হলো:
\( 2x - 5y + c' = 0 \)
প্রশ্??ে চাওয়া হয়েছে, সরলরেখা যা \(2x + 5y + 10 = 0\) এর উপর লম্ব।
অতএব, এই রেখার জন্য \(c'\) নির্ণয় করি।
চাই যে, এই রেখাটি \(2x + 5y + 10 = 0\) এর উপর লম্ব।
তাই, এই দুই রেখার ঢাল গুণফল হবে \(-1\):
\(m_1 = -\frac{2}{5}\)
\(m_2 = \frac{5}{2}\)
এবং, রেখার সমীকরণ হলো:
\(2x - 5y + c' = 0\)
এটি একটি সাধারণ রেখার সমীকরণ।
অতএব, এই রেখার সমীকরণ লিখতে পারি:
\(5x - 2y + d = 0\)
যেখানে, \(d\) একটি ধ্রুবক।চূড়ান্ত, রেখার সমীকরণ: \(\boxed{5x - 2y = 0}\)