ax^2+bx+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে- 

প্রথমে, ধরা যাক মূলদ্বয় দ্বৈত \(r_1\) এবং \(r_2\)। প্রশ্ন অনুযায়ী, মূলদ্বয় বিপরীত চিহ্নযুক্ত, অর্থাৎ:

• \(r_1 \times r_2 < 0\)

অর্থাৎ, \(r_1\) এবং \(r_2\) এর চিহ্ন ভিন্ন। আবার, মূল সমীকরণের মূলদ্বয় সম্পর্ক অনুযায়ী:

• \(r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\)
• \(r_1 r_2 = \frac{c}{a}\)

যেহেতু \(r_1 r_2 < 0\), তাই:

\(\frac{c}{a} < 0 \Rightarrow c\) এবং \(a\) এর চিহ্ন ভিন্ন।

এখন, মূলদ্বয় বিপরীত চিহ্নযুক্ত, অর্থাৎ \(r_1\) এর চিহ্ন ধরা হয়েছে \(+\), তাহলে \(r_2\) হবে \(-\)।

অতএব, তাদের যোগফল:

\(r_1 + r_2\) এর মান হবে \(+\) এবং \(-\) এর যোগফল, যা অবশ্যই শূন্যের সমান নয়। তবে, মূল সমীকরণের মূলদ্বয় সম্পর্ক অনুযায়ী:

\(r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\)

যেহেতু \(r_1\) এবং \(r_2\) এর চিহ্ন ভিন্ন, তাদের যোগফল নয় শূন্য, বরং নিরপেক্ষ বা অপ্রকাশ্য হতে পারে। তবে, বিশেষ ক্ষেত্রে যখন \(r_1\) এবং \(r_2\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত, তখন তাদের যোগফল শূন্য হবে যদি:
\(r_1 + r_2 = 0 \Rightarrow -\frac{b}{a} = 0 \Rightarrow b = 0\)

অতএব, মূলদ্বয় বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে, তার অর্থ হলো:
b = 0