∫_0^1(1−x)/(1+x)dx  এর মান কোনটি ?

∫₀¹ (1-x)/(1+x) dx এর মান নির্ণয়:

ধাপ ১: অপেক্ষকের সরলীকরণ

আমরা (1-x) কে (1+x) এর মাধ্যমে প্রকাশ করার চেষ্টা করি:

1 - x = A(1 + x) + B

1 - x = A + Ax + B

A = -1 এবং A + B = 1 ⇒ B = 2

সুতরাং, 1 - x = -1(1 + x) + 2

\(\frac{1-x}{1+x} = \frac{-1(1+x) + 2}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x}\)

ধাপ ২: সমাকলন

\(\int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} dx = \int_{0}^{1} \left(-1 + \frac{2}{1+x}\right) dx\)

\(= \int_{0}^{1} -1 dx + \int_{0}^{1} \frac{2}{1+x} dx\)

\(= - \int_{0}^{1} dx + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx\)

আমরা জানি, \(\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C\)

সুতরাং, \(\int \frac{1}{1+x} dx = ln|1+x| + C\)

\(= -[x]_{0}^{1} + 2[ln|1+x|]_{0}^{1}\)

\(= -(1 - 0) + 2(ln|1+1| - ln|1+0|)\)

\(= -1 + 2(ln(2) - ln(1))\)

\(= -1 + 2(ln(2) - 0)\)

\(= -1 + 2ln(2)\)

\(= 2ln(2) - 1\)

অতএব, ∫₀¹ (1-x)/(1+x) dx = 2ln(2) - 1

প্রদত্ত উত্তর: π/2 − 1

যদি প্রশ্নপত্রে অন্য কোনো ত্রুটি না থাকে, তাহলে সঠিক উত্তর 2ln(2) - 1 হবে। 🙏