Explanation:

Another Explanation (5): ```html

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয়

প্রশ্ন:

A(1,3), B(-3,5), C(a,7) বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 5 বর্গ একক হলে, C বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য কত? 🤔

সমাধান:

1. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

আমরা জানি, \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\) এবং \(C(x_3, y_3)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \] এখানে, \(A(1,3), B(-3,5), C(a,7)\)। সুতরাং, ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} |1(5 - 7) + (-3)(7 - 3) + a(3 - 5)| = 5 \] \[ \frac{1}{2} |-2 - 12 - 2a| = 5 \] \[ |-14 - 2a| = 10 \] সুতরাং, \(-14 - 2a = 10\) অথবা \(-14 - 2a = -10\) যদি \(-14 - 2a = 10\), তবে \(-2a = 24 \Rightarrow a = -12\) যদি \(-14 - 2a = -10\), তবে \(-2a = 4 \Rightarrow a = -2\)

2. মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

C বিন্দুগামী মধ্যমাটি AB বাহুর মধ্যবিন্দু D-গামী হবে। D বিন্দুর স্থানাঙ্ক: \[ D = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = (-1, 4) \]

Case 1: যখন a = -12

C(-12, 7) এবং D(-1, 4)। CD এর দৈর্ঘ্য: \[ CD = \sqrt{(-12 - (-1))^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(-11)^2 + (3)^2} = \sqrt{121 + 9} = \sqrt{130} \]

Case 2: যখন a = -2

C(-2, 7) এবং D(-1, 4)। CD এর দৈর্ঘ্য: \[ CD = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] যেহেতু উত্তরে \(\sqrt{130}\) দেওয়া আছে, তাই \(a = -12\) হলে C বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(\sqrt{130}\) একক। 🥳

অতএব, C বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{130}\) একক।

```