দুইটি বিন্দুর পোলার স্থানাংক \( (2\sqrt{3}, 90^\circ) \) এবং \( (2\sqrt{5},180^\circ) \) হলে, বিন্দু দুটির দূরত্ব কত?

Explanation: Solve: \((2\sqrt{3}, 90^\circ) = (2\sqrt{3} \cos 90, 2\sqrt{3} \sin 90) \\ \) \(\implies (0, 2\sqrt{3}) \\\)\( (2\sqrt{5}, 180^\circ) = (2\sqrt{5} \cos 180, 2\sqrt{5} \sin 180) \\ \) \( \implies (-2\sqrt{5}, 0) \\ \) therefore বিন্দুগয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = \(\sqrt{(0 + 2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2} \\ = \sqrt{20 + 12} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \\ \text{Ans. (D)}\)

Another Explanation (5): ```html

পোলার স্থানাংক থেকে দূরত্ব নির্ণয় 📏

প্রশ্ন:

দুটি বিন্দুর পোলার স্থানাংক \( (2\sqrt{3}, 90^\circ) \) এবং \( (2\sqrt{5},180^\circ) \) হলে, বিন্দু দুটির দূরত্ব কত? 🤔

উত্তর:

\( 4\sqrt{2} \) ✅

ব্যাখ্যা:

মনে করি, বিন্দু দুটি হলো \(P(r_1, \theta_1)\) এবং \(Q(r_2, \theta_2)\)। এখানে, \( r_1 = 2\sqrt{3}, \theta_1 = 90^\circ \) \( r_2 = 2\sqrt{5}, \theta_2 = 180^\circ \) পোলার স্থানাংককে কার্তেসীয় স্থানাংকে পরিবর্তন করি: 🔄 \(x_1 = r_1 \cos{\theta_1} = 2\sqrt{3} \cos{90^\circ} = 2\sqrt{3} \cdot 0 = 0\) \(y_1 = r_1 \sin{\theta_1} = 2\sqrt{3} \sin{90^\circ} = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}\) সুতরাং, \(P\) এর কার্তেসীয় স্থানাংক \((0, 2\sqrt{3})\)। \(x_2 = r_2 \cos{\theta_2} = 2\sqrt{5} \cos{180^\circ} = 2\sqrt{5} \cdot (-1) = -2\sqrt{5}\) \(y_2 = r_2 \sin{\theta_2} = 2\sqrt{5} \sin{180^\circ} = 2\sqrt{5} \cdot 0 = 0\) সুতরাং, \(Q\) এর কার্তেসীয় স্থানাংক \((-2\sqrt{5}, 0)\)। এখন, \(P\) ও \(Q\) এর মধ্যে দূরত্ব, \(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) \(PQ = \sqrt{(-2\sqrt{5} - 0)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2}\) \(PQ = \sqrt{(-2\sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{3})^2}\) \(PQ = \sqrt{4 \cdot 5 + 4 \cdot 3}\) \(PQ = \sqrt{20 + 12}\) \(PQ = \sqrt{32}\) \(PQ = \sqrt{16 \cdot 2}\) \(PQ = 4\sqrt{2}\) 🚀 অতএব, বিন্দু দুটির দূরত্ব \( 4\sqrt{2} \). 🎉 ```