Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা ধরছি যে, \(\omega\) একটি কিউবিক মূল (cube root of unity), অর্থাৎ:
\[
\omega^3 = 1
\]
এবং \(\omega\) এর মূল মান হলো:
\[
\omega^3 = 1 \quad \text{এবং} \quad 1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
প্রশ্নে দেওয়া expression হলো:
\[
(\omega^{3a} + \omega^{3a+1} + \omega^{3a+2})^5
\]
প্রথমে, \(\omega^{3a}\), \(\omega^{3a+1}\), ও \(\omega^{3a+2}\) এর মান নির্ণয় করি।
যেহেতু \(\omega^3 = 1\), তাই:
\[
\omega^{3a} = (\omega^3)^a = 1^a = 1
\]
অতএব,
\[
\omega^{3a} = 1
\]
এবং,
\[
\omega^{3a+1} = \omega^{3a} \cdot \omega^1 = 1 \cdot \omega = \omega
\]
এবং,
\[
\omega^{3a+2} = \omega^{3a} \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2
\]
অর্থাৎ, মূল expression টি হয়:
\[
(1 + \omega + \omega^2)^5
\]
আমরা জানি,
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
অতএব,
\[
(1 + \omega + \omega^2)^5 = 0^5 = 0
\]
অতএব, উত্তর হলো:
উত্তর: 0
