জামিল সাহেবের 12 জন বন্ধু আছে তাদের মধ্যে 8 জন আত্মীয়।  তিনি কত প্রকারে 7 জন বন্ধুকে নিয়ন্ত্রণ করতে পারবেন যাদের মধ্যে 5 জন আত্মীয় থাকবে ?  

🧑‍🤝‍🧑ধরি, জামিল সাহেবের মোট বন্ধু সংখ্যা 12 জন।

🧑‍🤝‍🧑আত্মীয় বন্ধু সংখ্যা 8 জন।

🧑‍🤝‍🧑অতএব, আত্মীয় নয় এমন বন্ধুর সংখ্যা \(12 - 8 = 4\) জন।

🧑‍🤝‍🧑জামিল সাহেবকে 7 জন বন্ধুকে নির্বাচন করতে হবে। শর্ত হলো তাদের মধ্যে 5 জন আত্মীয় থাকবে।

🧑‍🤝‍🧑যেহেতু 5 জন আত্মীয় বন্ধু নিতে হবে, তাই বাকি \(7 - 5 = 2\) জন বন্ধু আত্মীয় নয় এমন বন্ধুদের থেকে নিতে হবে।

🧑‍🤝‍🧑8 জন আত্মীয় বন্ধু থেকে 5 জন বন্ধু নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা \(C(8, 5)\)।

\(C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)

🧑‍🤝‍🧑4 জন আত্মীয় নয় এমন বন্ধু থেকে 2 জন বন্ধু নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা \(C(4, 2)\)।

\(C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

🧑‍🤝‍🧑অতএব, মোট নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা \(56 \times 6 = 336\)

সুতরাং, জামিল সাহেব 336 প্রকারে 7 জন বন্ধুকে নির্বাচন করতে পারবেন যাদের মধ্যে 5 জন আত্মীয় থাকবে। 🎉