int_1^e logx  dx = কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \).

এখানে, \( \int_1^e \log x \, dx \) নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, \( u = \log x \) এবং \( dv = dx \).

তাহলে, \( du = \frac{1}{x} dx \) এবং \( v = x \).

সুতরাং,

\( \int_1^e \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx \)

\(= \left[ x \log x \right]_1^e - \int_1^e 1 \, dx \)

\(= \left[ x \log x \right]_1^e - \left[ x \right]_1^e \)

\(= (e \log e - 1 \log 1) - (e - 1) \)

\(= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) \)

\(= e - e + 1 \)

\(= 1 \)

অতএব, \( \int_1^e \log x \, dx = 1 \). 🎉