x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে, নিচের কোনটি সত্য?

প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে, নিচের কোনটি সত্য?

উত্তর: \(g^2 = c\) এবং \(f^2 = c\)

ব্যাখ্যা:

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)

এই বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)।

যদি বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তবে কেন্দ্রের ভুজ এবং কোটির পরম মান ব্যাসার্ধের সমান হবে। অর্থাৎ,

\(|-g| = r\) এবং \(|-f| = r\)

সুতরাং, \(g^2 = r^2\) এবং \(f^2 = r^2\)

আমরা জানি, \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)

অতএব, \( r^2 = g^2 + f^2 - c \)

যেহেতু \(g^2 = r^2\), তাই \( g^2 = g^2 + f^2 - c \)
সুতরাং, \( f^2 = c \) 😃

আবার, যেহেতু \(f^2 = r^2\), তাই \( f^2 = g^2 + f^2 - c \)
সুতরাং, \( g^2 = c \) 🎉

সুতরাং, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে \( g^2 = c \) এবং \( f^2 = c \) হবে।

অতএব, \( g^2 = c \) এবং \( f^2 = c \) সত্য। ✨