x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0 এবং x^2 + y^2 + 32x + 24y = 0 বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী ও বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র সমূহের সংযোগকারী রেখার উপর লম্বরেখার সমীকরণ কোনটি?
সঠিক উত্তরঃ
A.
4x + 3y = 0
Another Explanation (5):
প্রশ্নে দুটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলো:
\(x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0\) ...(1) \(x^2 + y^2 + 32x + 24y = 0\) ...(2)
প্রথমে, এই বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র ও অক্ষাংশ নির্ণয় করি।
বৃত্ত 1 এর কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:
\(x^2 - 8x + y^2 - 6y = 0\)সম্পূরক যোগ করে:
\(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 0 + 16 + 9\)অর্থাৎ,
\((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25\)অতএব, বৃত্ত 1 এর কেন্দ্র হল \(\mathbf{C_1 = (4, 3)}\), এবং ব্যাসার্ধ হল \(r_1 = 5\).
বৃত্ত 2 এর কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:
\(x^2 + 32x + y^2 + 24y = 0\)সম্পূরক যোগ করে:
\(x^2 + 32x + 256 + y^2 + 24y + 144 = 0 + 256 + 144\)অর্থাৎ,
\((x + 16)^2 + (y + 12)^2 = 400\)অতএব, বৃত্ত 2 এর কেন্দ্র হল \(\mathbf{C_2 = (-16, -12)}\), এবং ব্যাসার্ধ হল \(r_2 = 20\).
বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র সমূহের সংযোগকারীর রেখার সমীকরণ:
প্রথমে, কেন্দ্রসমূহের মধ্যে দূরত্ব:
\(d = \sqrt{(4 - (-16))^2 + (3 - (-12))^2} = \sqrt{(20)^2 + (15)^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\)
যেহেতু দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \(d = 25\), এবং তাদের ব্যাসার্ধ \(r_1 = 5\) ও \(r_2 = 20\), যা যোগফল \(r_1 + r_2 = 25\), অর্থাৎ বৃত্তদ্বয় একে অপরের স্পর্শক। তারা স্পর্শক রেখার উপর রয়েছে।
এখন, কেন্দ্র সমূহের সংযোগকারী রেখার সমীকরণ:
প্রথম, গুণফল:
\(m = \frac{Y_2 - Y_1}{X_2 - X_1} = \frac{-12 - 3}{-16 - 4} = \frac{-15}{-20} = \frac{3}{4}\)
তাই, রেখার সমীকরণ:
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\[
y - 3 = \frac{3}{4}(x - 4)
\]
\[
4(y - 3) = 3(x - 4)
\]
\[
4y - 12 = 3x - 12
\]
\[
4y = 3x
\]
অথবা,
\[
\boxed{4x + 3y = 0}
\]
এখানে, কারণ বৃত্তদ্বয় একে অপরের স্পর্শক, সংযোগকারী রেখাটি স্পর্শক রেখার সাথে একই রেখা।
অতএব, লম্বরেখার সমীকরণ হল:
\(\boxed{4x + 3y = 0}\)