x²+y²+2gx+2fy+c=0, (g²>c, f²>c) বৃত্তটি দ্বারা x- অক্ষের কর্তিত অংশ কত?

Another Explanation (5): প্রশ্নের বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \] প্রথমে বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি। সমীকরণটি সাধারণ বৃত্তের সমীকরণের মতো: \[ (x + g)^2 + (y + f)^2 = r^2 \] এখানে, \[ r^2 = g^2 + f^2 - c \] প্রশ্নে দেওয়া শর্ত: \[ g^2 > c \quad \text{এবং} \quad f^2 > c \] এবং \[ r^2 = g^2 + f^2 - c > 0 \] অর্থাৎ, বৃত্তটি বাস্তব ও বাস্তবিকভাবে অর্ধেকের জন্য বিদ্যমান। এখন, x-অক্ষের সাথে ছেদ করতে হলে y=0 স্থাপন করি। সমীকরণে y=0 বসালে: \[ x^2 + 2gx + c = 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, যার মূল হল: \[ x^2 + 2gx + c = 0 \] মূলের জন্য আঘাতের সূত্র ব্যবহার করে: \[ x = \frac{-2g \pm \sqrt{(2g)^2 - 4 \times 1 \times c}}{2} = -g \pm \sqrt{g^2 - c} \] অর্থাৎ, x-অক্ষের কর্তিত অংশের দুটি বিন্দু: \[ x_1 = -g - \sqrt{g^2 - c} \] \[ x_2 = -g + \sqrt{g^2 - c} \] এতএব, x-অক্ষের কর্তিত অংশের দৈর্ঘ্য: \[ \text{দৈর্ঘ্য} = x_2 - x_1 = \left(-g + \sqrt{g^2 - c}\right) - \left(-g - \sqrt{g^2 - c}\right) = 2 \sqrt{g^2 - c} \] **অতএব, উত্তর:**