int_1^4(lnx)/sqrtxdx এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(I = \int_1^4 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx\) এখানে, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করি। প্রথম ফাংশন \(\ln x\) এবং দ্বিতীয় ফাংশন \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) ধরি। তাহলে, \(I = \ln x \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} dx - \int_1^4 \left( \frac{d}{dx} (\ln x) \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx \right) dx\) আমরা জানি, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) সুতরাং, \(\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}\) তাহলে, \(I = \left[ \ln x \cdot 2\sqrt{x} \right]_1^4 - \int_1^4 \left( \frac{1}{x} \cdot 2\sqrt{x} \right) dx\) \(I = \left[ 2\sqrt{x} \ln x \right]_1^4 - \int_1^4 \frac{2}{\sqrt{x}} dx\) \(I = \left[ 2\sqrt{4} \ln 4 - 2\sqrt{1} \ln 1 \right] - 2 \int_1^4 x^{-\frac{1}{2}} dx\) যেহেতু \(\ln 1 = 0\), \(I = 2 \cdot 2 \ln 4 - 2 \left[ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_1^4\) \(I = 4 \ln 4 - 4 \left[ \sqrt{x} \right]_1^4\) \(I = 4 \ln (2^2) - 4 \left[ \sqrt{4} - \sqrt{1} \right]\) \(I = 4 \cdot 2 \ln 2 - 4 \left[ 2 - 1 \right]\) \(I = 8 \ln 2 - 4 \cdot 1\) \(I = 8 \ln 2 - 4\) অতএব, \(\int_1^4 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = 8 \ln 2 - 4\) 🥳