3x+ky-1=0 রেখাটি x²+y²-8x-2y+4=0 বৃত্তকে স্পর্শ করে, k এর মান নির্ণয় কর । 

Explanation:

Another Explanation (5): বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 8x - 2y + 4 = 0 \) এই বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \) নির্ণয় করি। সাধারণ সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই, \( 2g = -8 \Rightarrow g = -4 \) \( 2f = -2 \Rightarrow f = -1 \) \( c = 4 \) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) = (-g, -f) = (4, 1) \) 📍 এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 - 4} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13} \) 📏 সরলরেখার সমীকরণ: \( 3x + ky - 1 = 0 \) বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত হলো কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। 🎯 কেন্দ্র \( (4, 1) \) থেকে \( 3x + ky - 1 = 0 \) এর লম্ব দূরত্ব, \( d = \frac{|3(4) + k(1) - 1|}{\sqrt{3^2 + k^2}} = \frac{|12 + k - 1|}{\sqrt{9 + k^2}} = \frac{|k + 11|}{\sqrt{9 + k^2}} \) যেহেতু রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, \( d = r \) হবে। 💯 সুতরাং, \( \frac{|k + 11|}{\sqrt{9 + k^2}} = \sqrt{13} \) 💖 উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \( \frac{(k + 11)^2}{9 + k^2} = 13 \) \( (k + 11)^2 = 13(9 + k^2) \) \( k^2 + 22k + 121 = 117 + 13k^2 \) \( 12k^2 - 22k - 4 = 0 \) \( 6k^2 - 11k - 2 = 0 \) এখন, দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করি: \( 6k^2 - 12k + k - 2 = 0 \) \( 6k(k - 2) + 1(k - 2) = 0 \) \( (6k + 1)(k - 2) = 0 \) সুতরাং, \( k = 2 \) অথবা \( k = -\frac{1}{6} \) 🎉 অতএব, \( k \) এর মান \( 2, -\frac{1}{6} \) হবে। ✅