a এর কোন মানের জন্য vecA=2hati+3hatj+4hatk,  vecB=3hati+4hatj+ahatk ও vecC=ahati+7hatj+9hatk সমতলীয় হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): a এর মান নির্ণয়: তিনটি ভেক্টর \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) এবং \(\vec{C}\) সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো এদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল শূন্য হবে। অর্থাৎ, \[ \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0 \] এখানে, \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}\) \(\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + a\hat{k}\) \(\vec{C} = a\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k}\) প্রথমে \(\vec{B} \times \vec{C}\) নির্ণয় করি: \[ \vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & a \\ a & 7 & 9 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}(4 \cdot 9 - a \cdot 7) - \hat{j}(3 \cdot 9 - a \cdot a) + \hat{k}(3 \cdot 7 - 4 \cdot a) \] \[ = (36 - 7a)\hat{i} - (27 - a^2)\hat{j} + (21 - 4a)\hat{k} \] এখন, \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0\) \[ (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot [(36 - 7a)\hat{i} - (27 - a^2)\hat{j} + (21 - 4a)\hat{k}] = 0 \] \[ 2(36 - 7a) + 3(-27 + a^2) + 4(21 - 4a) = 0 \] \[ 72 - 14a - 81 + 3a^2 + 84 - 16a = 0 \] \[ 3a^2 - 30a + 75 = 0 \] \[ a^2 - 10a + 25 = 0 \] \[ (a - 5)^2 = 0 \] \[ a = 5 \] অতএব, a এর মান 5 হলে ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে।✅🥳