\( \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} dx = ? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা ইনটিগ্রালটি বিবেচনা করবো:

\[ I = \int_0^1 \frac{x}{1 + x^4} dx \] প্রথমে, পরিবর্তন করুন \( x^2 = t \), অর্থাৎ \( x = \sqrt{t} \) ও \( dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt \)। তখন সীমা পরিবর্তন হবে: যখন \( x=0 \), তখন \( t=0 \); এবং যখন \( x=1 \), তখন \( t=1 \)।

অতএব, ইনটিগ্রালটি হবে:

\[ I = \int_0^1 \frac{\sqrt{t}}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1 + t^2} dt \] এখন, এটি হলো সাধারণ আর্চ ট্যাঞ্জেন্ট ইনটিগ্রাল:

\[ I = \frac{1}{2} \left[ \arctan t \right]_0^1 = \frac{1}{2} ( \arctan 1 - \arctan 0 ) \] অতএব, যেখানে \(\arctan 1 = \frac{\pi}{4}\) ও \(\arctan 0 = 0\), সুতরাং: \[ I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{8} \] অতএব, উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{\pi}{8}} \]