\( \frac{d}{dx} (x^x) \) এর মান কত?

প্রশ্ন:

\( \frac{d}{dx} (x^x) \) এর মান কত?

উত্তর:

\( x^x (1 + \ln x) \)

সমাধান:

আমরা প্রথমে \( y = x^x \) ধরি।

এখানে, \( y = x^x \)। এটি সরাসরি ডিফারেনশিয়েট করা একটু জটিল, কারণ এখানে base ও exponent দুটোই পরিবর্তনশীল। আমরা লঘুতর করার জন্য ল্যাগারেথম ব্যবহার করব।

প্রথমে, নিচের মত ল্যাগারেথম নিন:

\[
\ln y = \ln (x^x) = x \ln x
\]

এখন, উভয় পাশে ডিফারেনশিয়েট করি x এর বিরুদ্ধে।

\[
\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x)
\]

ডান পাশে ডিফারেনশিয়েট করি:

\[
\frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1
\]

অতএব,

\[
\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1
\]

এখন, y এর মান পুনরুদ্ধার করে:

\[
\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)
\]

উপসংহার:

অতএব,

\[
\boxed{
\frac{d}{dx} (x^x) = x^x (1 + \ln x)
}
\]