y অক্ষকে স্পর্শ করে এবং (3,0) ও (7,0) বিন্দুদ্বয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর।

প্রশ্ন: y অক্ষক??? স্পর্শ করে এবং (3,0) ও (7,0) বিন্দুদ্বয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:

\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)

যেহেতু বৃত্তটি y অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই \(r = |h|\). সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ:

\((x-h)^2 + (y-k)^2 = h^2\)

বৃত্তটি (3,0) ও (7,0) বিন্দুগামী। সুতরাং,

\((3-h)^2 + (0-k)^2 = h^2 \quad ...(1)\)

\((7-h)^2 + (0-k)^2 = h^2 \quad ...(2)\)

সমীকরণ (1) থেকে পাই:

\(9 - 6h + h^2 + k^2 = h^2\)

\(k^2 = 6h - 9 \quad ...(3)\)

সমীকরণ (2) থেকে পাই:

\(49 - 14h + h^2 + k^2 = h^2\)

\(k^2 = 14h - 49 \quad ...(4)\)

(3) ও (4) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

\(6h - 9 = 14h - 49\)

\(8h = 40\)

\(h = 5\)

এখন, \(h\) এর মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(k^2 = 6(5) - 9 = 30 - 9 = 21\)

\(k = \pm \sqrt{21}\)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \((5, \sqrt{21})\) অথবা \((5, -\sqrt{21})\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = |5| = 5\).

অতএব, বৃত্তের সমীকরণ:

\((x-5)^2 + (y-\sqrt{21})^2 = 5^2\)

\(x^2 - 10x + 25 + y^2 - 2\sqrt{21}y + 21 = 25\)

\(x^2 + y^2 - 10x - 2\sqrt{21}y + 21 = 0\)

এবং

\((x-5)^2 + (y+\sqrt{21})^2 = 5^2\)

\(x^2 - 10x + 25 + y^2 + 2\sqrt{21}y + 21 = 25\)

\(x^2 + y^2 - 10x + 2\sqrt{21}y + 21 = 0\)

সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তগুলোর সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 - 10x \pm 2\sqrt{21}y + 21 = 0\)

ফলাফল:

\(x^2+y^2-10x - 2\sqrt{21}y+21=0\) এবং \(x^2+y^2-10x + 2\sqrt{21}y+21=0\) 🥳🎉