int_-1^1 |x| dx =?  

সমাধান:

আমরা জানি, \(|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases}\)

সুতরাং, \(\int_{-1}^1 |x| dx\) কে দুইটি অংশে ভাগ করা যায়:

\(\int_{-1}^1 |x| dx = \int_{-1}^0 |x| dx + \int_{0}^1 |x| dx\)

যেহেতু -1 থেকে 0 এর মধ্যে x এর মান ঋণাত্মক, তাই \(|x| = -x\). এবং 0 থেকে 1 এর মধ্যে x এর মান ধনাত্মক, তাই \(|x| = x\).

অতএব,

\(\int_{-1}^1 |x| dx = \int_{-1}^0 -x dx + \int_{0}^1 x dx\)

এখন, আমরা এই ইন্টিগ্রালগুলো সমাধান করি:

\(\int_{-1}^0 -x dx = -\int_{-1}^0 x dx = -\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 = -\left(\frac{0^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}\right) = -\left(0 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\)

\(\int_{0}^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\)

সুতরাং,

\(\int_{-1}^1 |x| dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

অতএব, \(\int_{-1}^1 |x| dx = 1\) 🥳