x²+y²+4x+2fy+c=0 বৃত্তটি মূলবিন্দুতে y-অক্ষকে স্পর্শ করলে- (i) c=0, (ii) f=0, (iii) x-অক্ষের খণ্ডিতাংশ 2, কোনটি সত্য?

Explanation:

Another Explanation (5): বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 + 4x + 2fy + c = 0\) বৃত্তটি মূলবিন্দুতে y-অক্ষকে স্পর্শ করে। এর মানে বৃত্তটি \((0,0)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x = 0\) রেখাটি \((0,0)\) বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক। (i) \(c = 0\) 🤔: যেহেতু বৃত্তটি মূলবিন্দু \((0,0)\) দিয়ে যায়, তাই \((0,0)\) বৃত্তের সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। \((0)^2 + (0)^2 + 4(0) + 2f(0) + c = 0\) \(0 + 0 + 0 + 0 + c = 0\) সুতরাং, \(c = 0\)। ✅ (ii) \(f = 0\) 🤔: বৃত্তের কেন্দ্র \( (-2, -f) \)। যেহেতু বৃত্তটি y-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্রের x-স্থানাঙ্কের পরম মান বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান। বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-f)^2 - 0} = \sqrt{4 + f^2}\) আবার, যেহেতু y অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই ব্যাসার্ধ \( = |-2| = 2 \)। সুতরাং, \(\sqrt{4 + f^2} = 2\) \(4 + f^2 = 4\) \(f^2 = 0\) \(f = 0\)। ✅ (iii) x-অক্ষের খণ্ডিতাংশ 2 🤔: x-অক্ষের খণ্ডিতাংশ \( = 2\sqrt{g^2 - c} = 2\sqrt{(-2)^2 - 0} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4 \)। সুতরাং, x-অক্ষের খণ্ডিতাংশ 4, 2 নয়। ❌ অতএব, শুধুমাত্র (i) ও (ii) সত্য। 🥳