int_0^(pi/6)sin^2xcosxdx=?

প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/6} \sin^2 x \cos x\, dx = ?\)

উত্তর: \(\frac{1}{24}\)

সমাধান:
আমরা ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব। প্রথমে, লক্ষ্য করি যে ইন্টিগ্রালের মধ্যে \(\sin^2 x\) এবং \(\cos x\) রয়েছে। 

ধাপ ১: সাবস্টিটিউশান:
সাধারণত, \(\sin^2 x\) এর জন্য আমরা \(\sin x\) এর উপর ভিত্তি করে পরিবর্তন করতে পারি। আমরা \(u = \sin x\) নিই, তাহলে:
\[
du = \cos x\, dx
\]
এবং যখন \(x = 0\), তখন \(u = \sin 0 = 0\), এবং যখন \(x = \pi/6\), তখন \(u = \sin (\pi/6) = 1/2\).

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:
\[
\int_{u=0}^{u=1/2} u^2\, du
\]
কারণ,
\[
\sin^2 x\, dx = \sin^2 x \times dx = u^2 \times \frac{du}{\cos x} \quad \text{এবং}\quad du = \cos x\, dx
\]
তাই, এই ক্ষেত্রে, ইন্টিগ্রালটি সরাসরি:
\[
\int_{0}^{1/2} u^2\, du
\]

ধাপ ২: সমাধান:
\[
\int u^2\, du = \frac{u^3}{3}
\]
সুতরাং,
\[
\left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^{1/2} = \frac{(1/2)^3}{3} - 0 = \frac{1/8}{3} = \frac{1}{24}
\]

অতএব, উত্তর:
\boxed{\frac{1}{24}}