যদি A+ B+ C= π, tan^-12=A এবং tan^-13= B, তবে C=? 

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: যদি \(A + B + C = \pi\), যেখানে \( \tan^{-1} 2 = A \) এবং \( \tan^{-1} 3 = B \), তবে \(C\) এর মান কত?

উত্তর: \( \frac{\pi}{4} \)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা জানি:

• \(A = \tan^{-1} 2\)
• \(B = \tan^{-1} 3\)

এবং, \(\tan A = 2\), \(\tan B = 3\)।

প্রশ্নে দেওয়া আছে: \(A + B + C = \pi\), তাহলে:

\[ C = \pi - (A + B) \]

অর্থাৎ, আমরা জানি:

\[ A + B = \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 \]

আমরা জানি:

\[ \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) \] যদি \(xy < 1\)।

তাই, এখানে:

\[ A + B = \tan^{-1} \left( \frac{2 + 3}{1 - (2)(3)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{1 - 6} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right) = \tan^{-1}(-1) \]

এবং, \(\tan^{-1}(-1) = - \frac{\pi}{4}\)।

অতএব:

\[ A + B = - \frac{\pi}{4} \]

অতএব, \(C\) হচ্ছে:

\[ C = \pi - (A + B) = \pi - \left( - \frac{\pi}{4} \right) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \]

তবে, প্রশ্নটি সাধারণত কৌণিক মানের জন্য হয় এবং \(C\) এর মান সাধারণত মূল অ্যাঙ্গেল রেঞ্জে (0 থেকে \(\pi\)) থাকে। কারণ, \(\tan^{-1} 2\) এবং \(\tan^{-1} 3\) যথাক্রমে প্রথম চতুর্থাংশে থাকে, তার মানে:

\[ A \approx 63.43^\circ, \quad B \approx 71.57^\circ \]

সুতরাং, \(\text{A} + \text{B} \approx 135^\circ\) বা \(\frac{3\pi}{4}\), এবং:

\[ C = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]

অতএব, সঠিক মান হয়:

\(\boxed{\frac{\pi}{4}}\)