int_0^1(1-x)/(1+x) dx =?

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি নিম্নরূপ লিখব:

\(I = \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{1 + x} \, dx\)

প্রথমে, ইন্টিগ্রালটিকে বিভক্ত করি:

\(I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} \, dx - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x} \, dx\)

প্রথম ইন্টিগ্রাল:

\(\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} \, dx = \left[ \ln|1 + x| \right]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\)

দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল:

এখানে, \(\frac{x}{1 + x}\) লেখা যায়:

\(\frac{x}{1 + x} = \frac{(1 + x) - 1}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}\)

অতঃ,

\(\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x} \, dx = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1 + x} \right) dx = \int_{0}^{1} 1 \, dx - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} \, dx\)

এখন,

\(\int_{0}^{1} 1 \, dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1\)

এবং, আমরা আগেই জানি:

\(\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} \, dx = \ln 2\)

\(\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x} \, dx = 1 - \ln 2\)

সর্বমোট:

\(I = \ln 2 - (1 - \ln 2) = \ln 2 - 1 + \ln 2 = 2 \ln 2 - 1\)

উত্তর:

অতএব,

\( \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{1 + x} \, dx = 2 \ln 2 - 1 \)