2cos²15°  এর মান কত? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 2\cos^2 15^\circ \) এর মান কত? উত্তর: \(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\) সমাধান: প্রথমে, \(\cos 15^\circ\) এর মান নির্ণয় করি। আমরা জানি, \[ \cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) \] ব্যবহার করি, \[ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \] অর্থাৎ, \[ \cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \] প্রতিটি মান জানি: \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] সুতরাং, \[ \cos 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] এখন, \[ \cos^2 15^\circ = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^2 \] \[ = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{16} \] বর্গের নিয়ম অনুসারে, \[ (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdots \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 \sqrt{12} + 2 \] \[ = 6 + 2 \times 2 \sqrt{3} + 2 = 6 + 4 \sqrt{3} + 2 = 8 + 4 \sqrt{3} \] অতএব, \[ \cos^2 15^\circ = \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} = \frac{8}{16} + \frac{4 \sqrt{3}}{16} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \] এখন, \[ 2 \cos^2 15^\circ = 2 \times \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = 2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \] উপসংহার: \[ 2 \cos^2 15^\circ = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \] অতএব, উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} \]