y= lncot tan^-1(x/2) হলে (dy)/(dx) এর মান কোনটি?  

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( y = \ln(\cot^{-1}(\frac{x}{2})) \) আমাদের \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করতে হবে। এখানে, প্রথমে \(\ln(x)\) এর অন্তরীকরণ, তারপর \(\cot^{-1}(x)\) এর অন্তরীকরণ এবং সবশেষে \(\frac{x}{2}\) এর অন্তরীকরণ করতে হবে। আমরা জানি, \(\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}\) \(\frac{d}{dx} \cot^{-1}(x) = -\frac{1}{1+x^2}\) \(\frac{d}{dx} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\) এখন, চেইন রুল ব্যবহার করে, \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \ln(\cot^{-1}(\frac{x}{2}))\) \( = \frac{1}{\cot^{-1}(\frac{x}{2})} \cdot \frac{d}{dx} \cot^{-1}(\frac{x}{2}) \) \( = \frac{1}{\cot^{-1}(\frac{x}{2})} \cdot \left(-\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}\right) \cdot \frac{d}{dx} (\frac{x}{2}) \) \( = \frac{1}{\cot^{-1}(\frac{x}{2})} \cdot \left(-\frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}\right) \cdot \frac{1}{2} \) \( = \frac{1}{\cot^{-1}(\frac{x}{2})} \cdot \left(-\frac{4}{4+x^2}\right) \cdot \frac{1}{2} \) \( = \frac{1}{\cot^{-1}(\frac{x}{2})} \cdot \left(-\frac{2}{4+x^2}\right) \) এখন, যদি \(\cot^{-1}(\frac{x}{2}) = \frac{4+x^2}{2x}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{4+x^2}{2x}} \cdot \left(-\frac{2}{4+x^2}\right) \) \( = \frac{2x}{4+x^2} \cdot \left(-\frac{2}{4+x^2}\right) \) কিন্তু প্রদত্ত উত্তর \(\frac{-1}{x}\) । 🤔 যদি \(y = \ln(\arctan(\frac{x}{2}))\) হয়, তবে: \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\arctan(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{1}{2}\) \( = \frac{1}{\arctan(\frac{x}{2})} \cdot \frac{4}{4+x^2} \cdot \frac{1}{2}\) \( = \frac{2}{(4+x^2)\arctan(\frac{x}{2})}\) যদি প্রশ্নটি \(y = \ln(\cot(\frac{x}{2}))\) হয়: \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cot(\frac{x}{2})} \cdot (-\csc^2(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2}\) \( = \tan(\frac{x}{2}) \cdot (-\csc^2(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2}\) \( = \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} \cdot \frac{-1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2}\) \( = \frac{-1}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}\) \( = \frac{-1}{\sin(x)}\) সুতরাং, প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 😥 যদি \( y = \ln(\frac{1}{x}) \) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{x}\) হবে। আবার, যদি \(y = \cot^{-1}(\frac{x}{2})\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{4+x^2}\)। আমার মনে হয় প্রশ্নটি ভুল আছে। 🥺