sinx/siny=sqrt2
BUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Topic Practice)BUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
A.
π/4,π/6
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \(\frac{\sin x}{\sin y} = \sqrt{2}\)
উত্তর: \(x = \frac{\pi}{4}, y = \frac{\pi}{6}\) কিনা যাচাই। 🤔
সমাধান:
যদি \(x = \frac{\pi}{4}\) এবং \(y = \frac{\pi}{6}\) হয়, তবে:
\(\sin x = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 🤓
\(\sin y = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) 😊
সুতরাং, \(\frac{\sin x}{\sin y} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) 🎉
অতএব, \(x = \frac{\pi}{4}\) এবং \(y = \frac{\pi}{6}\) প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। 🥳
অন্যান্য সম্ভাব্য সমাধান:
যেহেতু \(\sin\) ফাংশন পর্যায়বৃত্ত, তাই \(x\) এবং \(y\) এর অসংখ্য সমাধান থাকতে পারে। সাধারণ সমাধান বের করার জন্য, আমরা লিখতে পারি:
\(\sin x = \sqrt{2} \sin y\)
যেহেতু \(-1 \le \sin x \le 1\), তাই \(-1 \le \sqrt{2} \sin y \le 1\), যার মানে
\(-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin y \le \frac{1}{\sqrt{2}}\) 😮
সুতরাং, \(y\) এর মান \(\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\) এর মধ্যে থাকতে হবে। এর পর, \(x = \arcsin(\sqrt{2} \sin y)\) ব্যবহার করে \(x\) এর মান বের করা যেতে পারে। 🤩
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(y = \frac{3\pi}{4}\) হয় তবে \(\sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}\). সেক্ষেত্রে \(\sin x = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1\), সুতরাং \(x = \frac{\pi}{2}\). 🤯
```
প্রশ্ন: \(\frac{\sin x}{\sin y} = \sqrt{2}\)
উত্তর: \(x = \frac{\pi}{4}, y = \frac{\pi}{6}\) কিনা যাচাই। 🤔
সমাধান:
যদি \(x = \frac{\pi}{4}\) এবং \(y = \frac{\pi}{6}\) হয়, তবে:
\(\sin x = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 🤓
\(\sin y = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) 😊
সুতরাং, \(\frac{\sin x}{\sin y} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) 🎉
অতএব, \(x = \frac{\pi}{4}\) এবং \(y = \frac{\pi}{6}\) প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। 🥳
অন্যান্য সম্ভাব্য সমাধান:
যেহেতু \(\sin\) ফাংশন পর্যায়বৃত্ত, তাই \(x\) এবং \(y\) এর অসংখ্য সমাধান থাকতে পারে। সাধারণ সমাধান বের করার জন্য, আমরা লিখতে পারি:
\(\sin x = \sqrt{2} \sin y\)
যেহেতু \(-1 \le \sin x \le 1\), তাই \(-1 \le \sqrt{2} \sin y \le 1\), যার মানে
\(-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin y \le \frac{1}{\sqrt{2}}\) 😮
সুতরাং, \(y\) এর মান \(\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\) এর মধ্যে থাকতে হবে। এর পর, \(x = \arcsin(\sqrt{2} \sin y)\) ব্যবহার করে \(x\) এর মান বের করা যেতে পারে। 🤩
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(y = \frac{3\pi}{4}\) হয় তবে \(\sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}\). সেক্ষেত্রে \(\sin x = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1\), সুতরাং \(x = \frac{\pi}{2}\). 🤯
```