cot x-cot 2x = ?

প্রশ্ন: \( \cot x - \cot 2x = ? \)

উত্তর: \( \csc 2x \)

সমাধান:
প্রথমে, আমরা জানি:
\[
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
\]
এবং,
\[
\cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}
\]

তাই,
\[
\cot x - \cot 2x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos 2x}{\sin 2x}
\]

এখানে, সাধারণ সূত্র:
\[
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
\]
অথবা,
\[
\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x
\]
এবং,
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]

অতএব,
\[
\cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\cos 2x}{2 \sin x \cos x}
\]

এখন, মূল এক্সপ্রেশন:
\[
\cot x - \cot 2x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos 2x}{2 \sin x \cos x}
\]

প্রথম ভগ্নাংশের সমন্বয়:
\[
= \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos 2x}{2 \sin x \cos x}
= \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} - \frac{\cos 2x}{2 \sin x \cos x}
\]

সমান অংকে লেখলে:
\[
= \frac{2 \cos^2 x - \cos 2x}{2 \sin x \cos x}
\]

আমরা জানি:
\[
\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1
\]
অতএব,
\[
2 \cos^2 x - \cos 2x = 2 \cos^2 x - (2 \cos^2 x - 1) = 1
\]

অতএব,
\[
\cot x - \cot 2x = \frac{1}{2 \sin x \cos x}
\]

এবং,
\[
2 \sin x \cos x = \sin 2x
\]

অতএব,
\[
\cot x - \cot 2x = \frac{1}{\sin 2x} = \csc 2x
\]

সুতরাং,
\[
\boxed{
\cot x - \cot 2x = \csc 2x
}
\]