[[a^2,ab,b^2],[2a,a+b,2b],[1,1,1]]  = এর মান?

প্রশ্ন: \( \begin{vmatrix} a^2 & ab & b^2 \\ 2a & a+b & 2b \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \) = এর মান?

উত্তর: \((a-b)^3\)

ব্যাখ্যা:

ধরি, \( \begin{vmatrix} a^2 & ab & b^2 \\ 2a & a+b & 2b \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = D \)

\(R_2' = R_2 - 2R_3\) করে পাই,

\( D = \begin{vmatrix} a^2 & ab & b^2 \\ 2a-2 & a+b-2 & 2b-2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)

\(R_1' = R_1 - a^2R_3\) এবং \(R_2' = R_2 - 2aR_3\) করে পাই,

\( D = \begin{vmatrix} a^2-a^2 & ab-a^2 & b^2-a^2 \\ 2a-2a & a+b-2a & 2b-2a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)

\( D = \begin{vmatrix} 0 & ab-a^2 & b^2-a^2 \\ 0 & b-a & 2b-2a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)

1 এর সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই,

\( D = 1 \cdot \begin{vmatrix} ab-a^2 & b^2-a^2 \\ b-a & 2b-2a \end{vmatrix} \)

\( D = (ab-a^2)(2b-2a) - (b^2-a^2)(b-a) \)

\( D = 2(ab-a^2)(b-a) - (b+a)(b-a)(b-a) \)

\( D = 2a(b-a)(b-a) - (b+a)(b-a)^2 \)

\( D = 2a(b-a)^2 - (b+a)(b-a)^2 \)

\( D = (b-a)^2 [2a - (b+a)] \)

\( D = (b-a)^2 [2a - b - a] \)

\( D = (b-a)^2 (a - b) \)

\( D = (b-a)^2 (-1)(b-a) \)

\( D = -(b-a)^3 \)

\( D = (-1)(b-a)^3 \)

\( D = (a-b)^3 \) 🎉

সুতরাং, \( \begin{vmatrix} a^2 & ab & b^2 \\ 2a & a+b & 2b \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a-b)^3 \)