x=a, y=b এবং y = mx রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল- 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x = a\), \(y = b\) এবং \(y = mx\) রেখাটির দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। সমাধান: ধরি, রেখা \(y = mx\) এবং সরলরেখা \(x = a\), \(y = b\) দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, এই রেখাগুলির ক্রসিং পয়েন্ট নির্ণয় করি। যেহেতু \(x = a\) এবং \(y = b\) দেওয়া আছে, সেই বিন্দুটি হলো \((a, b)\)। রেখা \(y = mx\) এর সাথে \(x = a\) রেখার ক্রসিং পয়েন্ট হবে: \[ y = m \cdot a \] অর্থাৎ, এই রেখাগুলির মধ্যে ক্রসিং পয়েন্ট হলো: \[ (a, m a) \] এখন, ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু হলো \((a, b)\), নিচের বাম কোণ হলো নির্দিষ্ট শিরোনাম বিন্দু \((0, 0)\) থেকে ধরে নিচ্ছি, কারণ রেখাগুলোর মধ্যে অন্য কোনও নির্দিষ্ট বিন্দু দেয়া হয়নি। তাই, ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ বিন্দু হলো: \[ A = (0, 0), \quad B = (a, 0), \quad C = (a, m a) \] তথ্য অনুযায়ী, এই তিন বিন্দুর মাধ্যমে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \text{আকার} \times \text{উচ্চতা} \] যেখানে, - আকার হলো \(AB\) এর দৈর্ঘ্য, যা \(a\)। - উচ্চতা হলো \(AC\) এর সমতলের দূরত্ব, যা \(b - m a\) (যদি \(b\) থেকে \(m a\) বাদ দেওয়া হয়)। কিন্তু, এখানে, আমাদের লক্ষ্য হলো \(x\) ও \(y\) এর ভিত্তিতে সরাসরি ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা। তাই, ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলো হলো: \[ A = (0, 0), \quad B = (a, 0), \quad C = (a, m a) \] তাই, ক্ষেত্রফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height} \] Base হলো \(AB = a\), এবং উচ্চতা হলো \(m a\) (বিন্যাসে \(A\) থেকে \(C\) পর্যন্ত), তবে যেহেতু \(C\) বিন্দুতে \(y = m a\), এবং \(A\) বিন্দুতে \(0\), তাহলে উচ্চতা হলো \(b - m a\) (প্রথম বিন্দু থেকে \(b\) পর্যন্ত)। তাই, ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} \times a \times (b - m a) \] অথবা, সরাসরি এইভাবে লেখা যেতে পারে: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times a \times (b - m a) \] এখন, এই ক্ষেত্রফলকে \(a\) এর বদলে \(x = a\), \(y = b\) দিয়ে প্রকাশ করি। উল্লেখ্য, রেখা \(y = m x\), অর্থাৎ, \(b = m a\) দিয়ে \(b - m a = 0\), যা অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য। তাই, সঠিক ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2 m} (b - m a)^2 \] এবং, এর মূল আকারে, \[ \boxed{\frac{1}{2 m} (b - m a)^2} \] **সুতরাং, উত্তর:** \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2 m} (b - m a)^2 \]